• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Оглавление

• 1. Принцип инерции Галилея и современная физика


• 2. Два взгляда на второй закон Ньютона
• 2.1. Операциональная формулировка законов механики
• 2.2. Классическая механика как 4-мерная статика релятивистских струн


• 3. Природа третьего закона Ньютона


• Литература

1.  Принцип инерции Галилея и современная физика

Координатный метод описания физических явлений в своей основе содержит две важные и, на первый взгляд, взаимоисключающие идеи: идею равноправности всех систем координат и идею практического удобства определенной системы координат при решении конкретной физической задачи. Адекватная этим идеям математическая формулировка -- общековариантные уравнения в терминах тензорных расслоений -- снимает кажущееся противоречие: инвариантные операции над тензорами (тензорные произведения, свертки, ковариантное дифференцирование) от системы координат не зависят, а их выражения в компонентах могут упрощаться при выборе системы координат, отражающей имеющиеся симметрии. Теория относительности позволяет включить системы отсчета в класс 4-мерных систем координат, поскольку с любой системой отсчета можно связать 4-мерную систему координат, в которой мировые линии тела отсчета совпадают с временными координатными линиями [1]. Как и в случае систем координат, мы могли бы повторить здесь идеи, касающиеся равноправности всех систем отсчета и практического удобства конкретной системы в той или иной ситуации. В справедливости второй идеи нас убеждают многочисленные задачи классического курса теоретической механики, а вот первая совсем не очевидна в рамках классической механики Ньютона. Более того, первый закон Ньютона, который иногда называют законом инерции, говорит нам именно о том, что существуют некие особые системы отсчета, называемые инерциальными, в которых свободные механические тела движутся прямолинейно и равномерно или покоятся. Как правило, в школьном, да и вузовском курсе механики этому закону уделяется недостойно малое внимание. К сожалению, иногда встречаются и совсем ошибочные его толкования. Между тем, этот закон (или, как мы увидим, лучше сказать, принцип) после его надлежащей переформулировки, неожиданно выступает как общий принцип, практически, всех современных физико-геометрических теорий природы, а не только механики. По этой причине мы рассмотрим его роль в механике подробнее. Закон инерции Галилея постулирует существование инерциальных систем отсчета. Повседневный опыт ничего не может сказать нам о том, как движутся тела в отсутствие воздействия сил или в ситуации, когда силы скомпенсированы по той простой причине, что мы не можем ни изолировать какое-либо тело от окружающего мира, ни скомпенсировать в точности воздействие всех сил (логически не исключено, что какие-то силы нам пока еще совсем неизвестны), ни определить, в точности, геометрическую прямую в физическом пространстве. На последнее обстоятельство обратил внимание французский математик А.Пуанкаре в 1909 году [2]. Очевидно, что в такой ситуации закон инерции Галилея заведомо не может быть проверен экспериментально. Именно поэтому мы особо подчеркнули постулативный характер этого закона с самого начала. Но забудем на время про последнюю трудность, связанную с реализацией геометрических прямых. Пусть в нашем распоряжении имеется устройство, которое, не влияя на движение исследуемых нами тел, совершенно четко показывает нам с любой желаемой степенью точности, движется данное тело по прямой или отклоняется от нее. Тогда, если мы удалим все "посторонние" для нашего эксперимента тела, как следует позаботимся о компенсации воздействий оставшихся тел и при этом обнаружим, что тело, за которым мы наблюдаем, движется по прямой при любой точности наших измерений, мы придем к красивому выводу об инерциальности нашей системы отсчета и, тем самым, экспериментально "подтвердим" закон инерции Галилея. Такой исход событий, однако, крайне маловероятен. Опыт учит нас, что с повышением точности измерений всегда обнаруживаются новые и более тонкие детали физического эксперимента, которые усложняя наблюдаемую ранее картину, часто приводят к новым качественным прорывам в ее понимании (рис.1). Итак, почти достоверно, что наш прибор будет показывать некоторые отклонения от прямой линии. Но тогда закон инерции ставит нас перед альтернативой: либо на тело действуют какие-то силы, искривляющие траекторию, природа которых нам быть может не ясна, либо наша система отсчета неинерциальна. Сделать выбор между этими двумя альтернативами совсем не просто! Представим себе планету, пишет Пуанкаре, которая вращаясь относительно неподвижных звезд, имеет непрозрачную для звездного света атмосферу (рис.2).

Рис. 1. Изменение масштаба детализации траектории как в сторону его уменьшения (левый рисунок), так и в сторону увеличения (правый рисунок), может обнаружить отклонения траектории от прямой.		Рис. 2. Гипотетическая "фундаментальная сила" природы на планете с непрозрачной атмосферой, на самом деле, есть центробежная сила инерции, связанная с вращением планеты.

Физики этой планеты, не могут видеть своего вращения относительно звезд и связанной с ним неинерциальности и потому, проводя кропотливые эксперименты, держат в голове первую из предложенных альтернатив. Исследуя движения различных тел, они могли бы, в конце концов, прийти к выводу о том, что отклонения пробных тел от прямой свидетельствует о существовании некой силы, которая обращается в нуль в двух точках -- "полюсах отталкивания" -- на поверхности, растет пропорционально $R\sin(s/R),$ где $s$ -- удаление от этих точек на поверхности планеты, $R$ -- радиус планеты; направлена эта сила всегда под углом $\pi/2-s/R$ к вертикали и пропорциональна массе тела. Общая формула:

$$\vert\vec F\vert=\alpha mR\sin(s/R)$$ (1)

должна будет иметь для жителей этой планеты такой же фундаментальный смысл, как закон всемирного тяготения, а постоянная $\alpha,$ которую можно было бы определить экспериментально, имела бы характер фундаментальной константы природы. Так продолжалось бы до тех пор, пока инопланетного Коперника, знакомого, правда, с законом инерции инопланетного Галилея, не осенит гениальная догадка: "А что, если нет никакой силы $\vec F,$ а просто система отсчета, связанная с нашей планетой неинерциальна? Если сделать самое простое предположение о том, что планета вращается вокруг оси, проходящей через "полюса отталкивания" с постоянной угловой скоростью $\omega,$ то выражение для $\vec F$ приобретает простой и ясный физический смысл: это есть обычная центробежная сила инерции, которая наблюдается жителями планеты в повседневном опыте, но в гораздо меньших масштабах. Тогда формулу (1) следует переписать так:

$$\vert\vec F\vert=m\omega^2r,$$ (2)

где $r$ -- расстояние от точки поверхности до оси вращения². А "фундаментальная постоянная природы" $\alpha$ имеет смысл квадрата угловой скорости вращения поверхности относительно каких-то невидимых внешних и более массивных тел". Примерно так мог бы рассуждать инопланетный Коперник. И, скорее всего, по известным нам причинам, остался бы не понятым своими соседями по планете. Разобранный нами пример Пуанкаре характеризует общий ход мысли исследователей, взявшихся за экспериментальную проверку закона инерции Галилея. В объяснении отклонений от прямой сначала ситуация будет излагаться на силовом языке, затем, если это удастся, эта же ситуация будет перетолковываться на язык неинерциальных систем отсчета. И то и другое допускается первым законом Ньютона. Но что лучше? Или, точнее, что правильнее? Чтобы ответить на этот вопрос подведем некоторые итоги нашего обсуждения. Что дает обсуждаемая нами смена точки зрения на порядок вещей -- от сил к неинерциальности? Во-первых, при такой смене мы исключаем "лишние силы природы": в примере с планетой сила $\vec F,$ после открытия инопланетного Коперника, "перекочевывает" из динамики в кинематику. Во-вторых, описание внешних движений в открытой неинерциальной системе отсчета существенно упрощается!³И это не просто дань отвлеченным принципам красоты и простоты, которые философски настроенный ум может сформулировать и без научного опыта. Совсем не случаен тот исторический факт, что только после открытия Коперника Ньютон сумел в простых эллиптических траекториях планет солнечной системы усмотреть очень простой и фундаментальный закон природы -- закон всемирного тяготения. Усмотреть его действие в неисчислимых эпициклах Птолемея -- задача непосильная для человеческого ума. Но и самые современные компьютеры пока не обладают интеллектом, способным к индуктивному обобщению и, тем более, к чувствам простого и прекрасного! Теперь становится ясно, что закон инерции не есть закон в обычном смысле. Он ничего не утверждает нам о действительном мире, который пытается описать классическая механика Ньютона. Он предлагает нам лишь некоторое простое правило мышления о нем. Фактически, он предлагает нам принять на веру, что в некоторых специальных системах отсчета, называемых инерциальными, самой простой ситуации -- свободному движению тел -- должны соответствовать самые простые траектории -- прямые. Это -- исходное положение всей классической механики. Описанную простую ситуацию могут нарушать либо силы, либо неинерциальные движения. Выбор может быть сделан только после анализа ситуации в целом: какие силы уже известны, есть ли основания полагать, что существуют еще какие-то, выглядит ли движение внешних тел проще, после перехода на неинерциальную точку зрения. Все вышесказанное означает, что, несмотря на свой особый статус, закон инерции является,пожалуй, самым фундаментальным звеном всей логической структуры классической механики. В связи с этим хочется подчеркнуть ошибочность утверждения некоторых авторов о том, что первый закон Ньютона является следствием второго. Рассуждение выглядит примерно так. Рассмотрим частный случай второго закона

$$\ddot{\vec r}=\vec F/m,$$ (3)

когда $\vec F=0.$ Тогда тело движется с нулевым ускорением по прямой в полном соответствии с законом инерции. Ошибочность данного рассуждения заключается в том, что приведенная нами форма второго закона Ньютона справедлива только в инерциальных системах отсчета, существование которых постулируется первым законом. Если бы не было первого закона Ньютона (или он имел бы другую формулировку), то второй закон Ньютона нельзя было бы каким-либо определенным образом даже записать (или он мог бы иметь совсем другой вид)! Ведь мы не знали бы тогда, что уравнение движения свободного тела имеет вид: $\ddot{\vec r}=0,$ т.е. вид уравнения прямой! Рассмотрим в качестве примера слегка "модифицированный" мир, в котором закон инерции звучал бы так: "Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых тела в отсутствие действия других сил или в случае их взаимной компенсации, движутся по параболам, у которых векторный коэффициент при квадрате времени постоянен для всех тел". В этом случае, второй закон Ньютона, будет иметь вид: $\ddot{\vec r}-\vec g=\vec F/m,$ где $\vec g$ -- постоянный вектор, задающий направление осей всех парабол. Тогда в отсутствие сил имеем: $\ddot{\vec r}-\vec g=0$ -- т.е. именно движение по параболам (рис.3).

Рис. 3. Траектории свободных частиц в мире с модифицированным законом инерции Галилея. В этом мире вблизи поверхности Земли нет силы тяжести. По мере отдаления от поверхности сила тяжести появляется и растет, приближаясь на больших расстояниях к постоянной величине, равной $-m\vec g.$

Если "узнать" в векторе $\vec g$ ускорение свободного падения на поверхности Земли, то наш "модифицированный" мир оказался бы тождественным миру классической механики Ньютона вблизи поверхности Земли, причем все особенности движения падающих тел описывались бы вообще без всяких сил! Что же произошло? Модифицируя механику Ньютона, мы "перетащили" одну из сил из динамики в кинематику свободных тел, точнее -- в форму их траекторий. Вблизи Земли такая механика была бы даже удобнее! Вместо парабол можно было бы постулировать и другие кривые -- при этом новые силы перешли бы из динамики в кинематику свободных тел. Ньютон при построении своей, привычной нам, классической механики, пошел самым кардинальным путем: кинематика свободных тел механики Ньютона максимально проста, а силовая динамика, наоборот, -- максимально богата! В этом смысле, механика в ньютоновской формулировке, наиболее проста. Есть и другой крайний полюс этой простоты: мы могли бы попытаться, наоборот, всю силовую динамику перевести в кинематику свободных тел. Для сил гравитации эта задача решена в общей теории относительности [3], для других взаимодействий она более или менее успешно решается в рамках калибровочной концепции взаимодействий [4]. В обоих случаях искривление траекторий получается не за счет действия сил, а как следствие неевклидовости геометрии физического пространства-времени, которое, кроме того, может иметь дополнительные измерения [5]. Такой "антиньютоновский" подход, активно развивающийся в современных физических теориях, получил название проблемы геометризации физических взаимодействий [6]. Покажем в заключении, что имеется и квантово-механический аналог закона инерции Галилея. Напомним, что в нерелятивистской квантовой механике мы имеем дело с состояниями $\vert t\rangle$ -- векторами некоторого гильбертова пространства и наблюдаемыми -- эрмитовыми операторами, действующими в нем [7]. Основное уравнение нерелятивисткой квантовой механики:

$$i\hbar\dot{\vert t\rangle}=\hat{\mathcal{H}}\vert t\rangle$$ (4)

-- уравнение Шредингера, является квантово-механическим аналогом уравнения ньютоновской динамики⁴ (3). В (4) оператор $\hat{\mathcal{H}}$ -- дифференциальный оператор эволюции или, коротко, гамильтониан. Переход к более привычной волновой функции $\psi(\vec r,t)$ аналогичен выбору системы координат в классической механике Ньютона и переходу от векторов к их проекциям. В квантовой теории эта процедура называется переходом к определенному представлению гильбертова пространства и операторов в нем. Обычные волновые функции получаются переходом к $\vec r$ -представлению: $\psi(\vec r,t)\equiv\langle\vec r\vert t\rangle.$ Квантово-механический закон инерции теперь можно сформулировать так: "Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых состояние свободной квантовой частицы массы $m$ и импульсом $\vec p$ в координатном представлении описывается волновой функцией, пропорциональной $\exp[(\varepsilon t-\vec p\cdot \vec r)/\hbar],$ где $\vec p$ и $\varepsilon$ связаны стандартным соотношением: $\varepsilon={\vec p} {}^2/2m$ ". Именно это утверждение позволяет конкретизировать вид гамильтониана: $\hat{\mathcal{H}}=\hat{\mathcal{T}}+\hat{\mathcal{U}}.$ При этом, можно доказать, что в классе дифференциальных операторов второго порядка, сформулированный нами квантово-механический закон инерции приводит к единственному стандартному выражению:

$$\hat{\mathcal{T}}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2,$$

а состояния, описываемые плоскими волнами, таким образом, выступают (в координатном представлении квантовой механики) квантово-механическими аналогами прямолинейных равномерных движений тел классической механики Ньютона. След.: 2.  Два взгляда на Выше: Три лекции о законах Пред.: Три лекции о законах