- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
15. Применения производной Ли (6): группа конформных симметрий евклидовой и псевдоевклидовой плоскости.
Как мы покажем в этом разделе, случай является особым как в евклидовом, так и в псевдоевклидовом случае. Несмотря на то, что сами уравнения конформной симметрии при являются частным случаем уравнений (62)-(63), их решения существенно богаче и допускают произвольные функции. Действительно, в двумерном случае для метрики вида:
уравнения (62)-(63) принимают вид: Дифференцируя последнее уравнение последовательно по и и пользуясь первыми двумя уравнениями, приходим к условию на функцию : Воспользуемся тем обстоятельством, что в двумерном случае существует потенциал (сопряженная функция) определяемый условиями:
С учетом этих определений, условие (72) выполняется тождественно. Непосредственной проверкой можно убедиться, что решения уравнений (71) можно записать через функции и следующим образом:
Здесь -- произвольная начальная точка, а интегрирование выполняется вдоль любой кривой, соединяющей точки на нижних и верхних пределах интегрирования. Таким образом, общее поле конформной симметрии евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей содержат произвольные гармонические или псевдогармонические (волновые) функции. Конечные конформные преобразования более наглядно записываются: в евклидовом случае на языке комплексной переменной :
где -- произвольная аналитическая функция; в псевдоевклидовом случае в изотропных координатах :
В таком представлении бесконечномерность группы конформных симметрий двумерных евклидовой и псевдоевклидовой метрик очевидна.
След.: 16. Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 14. Применения производной Ли