вход

Оглавление


16.3.  Метрики с $ \tau (G)=3$ (13 типов)

В большей части случаев симметрии тривиальны. Нетривиальные симметрии имеются лишь в следующих тринадцати типах.
  1. $ F\neq0,A_1\neq0,B_1\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=dx^1\otimes dx^1\otimes dx^1\pm\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes $

    $\displaystyle \otimes dx^2)+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3).$ (86)
    Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:

    $\displaystyle X=x^2\partial_2-(x^3\pm x^2)\partial_3. $

  2. $ F\neq0,A_1\neq0,C_1\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=dx^1\otimes dx^1\otimes dx^1+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^1\otimes $

    $\displaystyle \otimes dx^2)+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3).$ (87)
    Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:

    $\displaystyle X=x^2\partial_2-(x^3+x^1/2)\partial_3. $

  3. $ F\neq0,B_1\neq0,B_2\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2)\pm\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^3\otimes dx^3)+$

    $\displaystyle +\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3).$ (88)
    Алгебра нетривиальных симметрий двумерна:

    $\displaystyle X_1=x^1\partial_1\pm(x^3/2)\partial_2-(x^3+x^2/2)\partial_3;\quad $

    $\displaystyle X_2=\partial_1+(x^2\pm x^3)\partial_2-(x^2+x^3)\partial_3. $

  4. $ F\neq0,B_1\neq0,B_3\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2)+\hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes $

    $\displaystyle \otimes dx^3\otimes dx^3)+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3).$ (89)
    Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:

    $\displaystyle X=(x^1+x^3)\partial_1-(x^3+x^2/2)\partial_3. $

  5. $ F\neq0,B_1\neq0,C_1\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2)+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^1\otimes dx^2)+$

    $\displaystyle +\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3).$ (90)
    Алгебра нетривиальных симметрий двумерна:

    $\displaystyle X_1=x^2\partial_2-(x^2+x^3)\partial_3;\quad $

    $\displaystyle X_2=x^1\partial_1-(x^3+x^2/2+x^1)\partial_3. $

  6. $ F\neq0,B_1\neq0,C_3\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2)+$

    $\displaystyle + \hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes dx^2\otimes dx^3)+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3).$ (91)
    Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:

    $\displaystyle X=(x^3+x^2/2)\partial_3-(x^1+x^2/2)\partial_1. $

  7. $ A_1\neq0,A_2\neq0,C_2\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=dx^1\otimes dx^1\otimes dx^1+dx^2\otimes dx^2\otimes dx^2+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^1\otimes dx^3).$ (92)
    Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:

    $\displaystyle X=x^1\partial_1-(x^1+2x^3)\partial_3. $

  8. $ A_1\neq0,B_1\neq0,B_2\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=dx^1\otimes dx^1\otimes dx^1+\epsilon_1\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2)+\epsilon_2\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^3\otimes dx^3),$ (93)
    где $ \epsilon_1=\pm1,$ $ \epsilon_2=\pm1$ -- независимые знаковые множители. Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:

    $\displaystyle X=x^3\partial_2-\epsilon_1\epsilon_2x^2\partial_3. $

  9. $ A_1\neq0,B_1\neq0,C_2\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=dx^1\otimes dx^1\otimes dx^1\pm\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2)+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^1\otimes dx^3),$ (94)
    Алгебра нетривиальных симметрий двумерна:

    $\displaystyle X_1=x^1\partial_1-(x^2/2)\partial_2-2x^3\partial_3;\quad X_2=\mp(x^1/2)\partial_2+x^2\partial_3. $

  10. $ A_1\neq0,B_1\neq0,C_3\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=dx^1\otimes dx^1\otimes dx^1\pm\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2)+\hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes dx^2\otimes dx^3),$ (95)
    Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:

    $\displaystyle X=x^2\partial_2-2(x^3\pm x^1)\partial_3. $

  11. $ B_1\neq0,B_2\neq0,C_1\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2)\pm\hat{\mathcal... ...(dx^1\otimes dx^3\otimes dx^3)+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^1\otimes dx^2),$ (96)
    Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:

    $\displaystyle X=x^3\partial_2\mp 2(x^1/2+ x^2)\partial_3. $

  12. $ B_1\neq0,B_3\neq0,C_1\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2)+\hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes dx^3\otimes dx^3)+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^1\otimes dx^2).$ (97)
    Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:

    $\displaystyle X=x^3\partial_1-(x^1+ x^2/2)\partial_3. $

  13. $ B_1\neq0,B_3\neq0,C_3\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2)\pm\hat{\mathcal... ...(dx^2\otimes dx^3\otimes dx^3)+\hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes dx^2\otimes dx^3).$ (98)
    Алгебра нетривиальных симметрий двумерна:

    $\displaystyle X_1=x^2\partial_2-(x^3/2)\partial_3-(2x^1+3x^3/2)\partial_1;\quad X_2=x^2\partial_3-(x^2\pm 2x^3)\partial_1. $

След.: 16.4.  Метрики с (10 Выше: 16.  Применения производной Ли Пред.: 16.2.  Метрики с (7