- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
2. Гладкие многообразия
Основная идея, лежащая в определении гладкого многообразия, проста: оно "склеено" из "лоскутков", каждый из которых "похож" на область евклидова пространства некоторого фиксированного (конечного) числа измерений. Чтобы придать точный смысл словам, заключенным в кавычки, перейдем к более строгим определениям. Рассмотрим некоторое множество Пара где -- некоторое открытое2 подмножество а : -- биективное отображение на некоторое открытое множество (область) вещественного евклидова пространства называется координатной картой на При этом называется координатной окрестностью, -- координатным (картирующим) отображением, а -- арифметизирующим пространством. Пара карт и называется -согласованной, если выполняется одно из двух условий:- ;
- На непустом пересечении карт отображения : и : являются -гладкими отображениями открытых множеств.
|
Рис. 1. К условию согласования карт. |
Поясним условие гладкости на координатном языке. Пусть -- система координат на для картирующего отображения а -- система координат на для картирующего отображения Арифметизирующие пространства для картирующих отображений различных карт удобно считать различными. Таким образом, отображение каждой точке ставит в соответствие точку а отображение каждой точке ставит в соответствие точку Числа и называются ыми координатами точек и в координатных картах и соответственно. Если пересечение непусто, то любая точка из него будет иметь, как минимум, два координатных представления: и которые обязательно будут взаимно-однозначно связаны друг другом, ввиду того, что оба представления порождаются одной и той же точкой и отображения и являются биекциями. Отображение (оно называется функцией перехода из в ) как раз и является числовой функцией, переводящей координаты в координаты для каждой точки из а отображение осуществляет обратное преобразование в В явном виде эти отображения описываются системами:
При этом и обозначают -ые компоненты отображений и соответственно. Требование гладкости означает, что все функции и имеют непрерывные частные производные вплоть до -ого порядка включительно. Атласом на множестве называется совокупность попарно -согласованных карт таких, что система координатных окрестностей образует покрытие множества : Два атласа и называются эквивалентными: если любая пара карт из и является -согласованной. Говорят, что класс эквивалентных атласов определяет на гладкую структуру или гладкость.
Множество с введенной на нем гладкой структурой называется гладким многообразием. При этом размерностью гладкого многообразия называется размерность арифметизирующего пространства
Размерность многообразия является его важнейшей характеристикой и иногда ее указывают явно в виде верхнего или нижнего индекса у символа многообразия: например В настоящих лекциях мы всегда будем иметь дело с многообразиями, у которых гладкость имеет бесконечный порядок: и всегда и так что для сокращения записи мы не будем указывать размерности абстрактных многообразий и используемых в конструкциях общего характера. Происхождение терминов "карта" и "атлас" очевидно. Поверхность Земли мы изображаем посредством совокупности плоских карт, каждая из которых, покрывает определенный участок земной поверхности. Для представления всей поверхности несколько карт объединяются в географический атлас. При этом края некоторых пар карт изображают один и тот же участок Земли и поэтому должны существовать правила, переводящие точки с одной карты на таком участке, на другую карту на нем же и обратно. Теория многообразий заимствует эти идеи из картографии и, абстрагируясь от конкретных особенностей наглядного представления, переносит их на общий случай -измерений. Рассмотрим примеры многообразий.
1. Евклидово пространство . Самый простой способ ввести гладкость на заключается в задании одной единственной карты id Она называется стандартной гладкостью. Отметим, не углубляясь в детали, что на можно ввести и другие гладкие структуры, неэквивалентные только что введенной нами [17].
2. Комплексное пространство . Представление овеществления: подсказывает, что простейший способ ввести гладкую структуру на заключается в переходе от к и дословному повторению конструкции предыдущего пункта. Такая гладкость, однако, "стирает" всякую информацию о комплексно-алгебраической структуре Для ее сохранения необходимо обобщить понятие вещественного многообразия на понятие комплексного многообразия, у которого роль арифметизирующего пространства выступает а функции перехода становятся комплексно-аналитическими [10].
3. Линейное вещественное векторное пространство . В любом -мерном линейном вещественном пространстве можно ввести базис, состоящий из элементов Всякий вектор представляется в таком базисе в виде линейной комбинации вида где -- координаты в выбранном базисе. Таким образом, при некотором фиксированном базисе оказывается изоморфным и, следовательно, допускает структуру -мерного вещественного гладкого многообразия.
4. Поверхности в Стандартные определения линии и поверхности в представляют собой типичные примеры многообразий малой размерности [6]. Не представляет труда обобщить эти определения на поверхности высших размерностей в При этом, как правило в качестве единственной карты выступает параметризация линий и поверхностей. Следует отметить, что несмотря на общие теоремы о возможности реализации многообразий в виде вложенных поверхностей в объемлющее евклидово пространство достаточно большого числа измерений [6], общая формулировка понятия многообразия никак не связана с такого рода представлениями и изучение свойств многообразия не требует привлечения понятий и структур какой-либо объемлющей геометрии.
4. Сфера Сфера относится к числу простейших (но нетривиальных!) многообразий. Начнем рассмотрение сфер с простейшего случая (окружность). Окружность определяется как подмножество точек плоскости удовлетворяющих уравнению3:
где -- декартовы координаты на плоскости4. Введем следующие обозначения:
Атлас сферы теперь можно задать посредством четырех карт где а -- отображение проекции на прямую : При этом координатные окрестности и не пересекаются, а на не пустых пересечениях функции перехода имеют, соответсвенно, вид:
и обратные к ним (с учетом знаков у корней). Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что эти функции перехода на всех пересечениях гладкие с Следовательно -- одномерное гладкое многообразие. Построенная конструкция элементарно обобщается на случай 2-мерной сферы -- соответствующие конкретные формулы читателю предлагается записать самостоятельно (подсказка: для мы будем иметь шесть карт). Мы сразу перейдем к построению атласа -мерной сферы рассматриваемой как подмногообразие задаваемое уравнением:
Введем обозначения:
Атлас сферы теперь можно задать посредством карт где а -- отображение проекции на гиперплоскость :
При этом координатные окрестности и не пересекаются, а не пустыми будут пересечения при Функции перехода, к примеру, для и при имеют вид:
Аналогичный вид имеют все остальные функции перехода, а также и обратные к ним. Непосредственной проверкой можно убедиться, что все функции перехода являются гладкими на пересечениях, поэтому -- -мерное гладкое многообразие. Отметим, что с помощью отображения стереографической проекции можно построить более экономные атласы для всех сфер состоящие при любом всего из двух карт [6].
Прямые произведения Напомним, что прямым (или декартовым) произведением двух множеств и называется множество всевозможных упорядоченных пар, где а Если и -- гладкие многообразия, то на прямом произведении гладкость порождается прямым произведением атласов состоящим из всевозможных карт вида где При этом прямое произведение отображений действует по правилу:
где Таким образом, прямое произведение двух гладких многообразий -- это снова гладкое многообразие5. При этом, очевидно, В качестве примеров многообразий, имеющих структуру прямого произведения гладких многообразий можно привести тор: и цилиндр Cyl
След.: 3. Скалярные функции и Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 1. Введение и обозначения