- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
16.8. Инвариантная классификация метрик с нетривиальными изометриями
Некоторые из аффинных типов метрик, обладающих симметриями, являются аффинно-эквивалентными. Для выяснения вопроса об эквивалентности метрик из перечисленных выше 38 классам обратимся к (аффинно-)инвариантным свойствам их полей симметрий. Первичная классификация связана с размерностью алгебр симметрий. Группируя различные аффинные типы с одинаковыми размерностями алгебры симметрий, мы приходим к следующим заведомо не эквивалентным классам:- класс аффинных типов с двумерной алгеброй симметрии, включающий случаи (первая цифра -- аффинный тип, вторая -- порядковый номер в соответствующем разделе): 1.1, 2.2, 2.6, 3.3, 3.5, 3.9,3.13, 4.9;
- класс аффинных типов с одномерной алгеброй симметрии, включающий случаи: 1.2, 2.1, 2.3, 2.4, 2.5, 3.1, 3.2, 3.4, 3.6, 3.7, 3.8, 3.10, 3.11, 3.12, 4.1,4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 6.1.
- тип 2.7 с бесконечно-мерной алгеброй симметрии;
- все, типы, которые не вошли в рассмотренные и которые не обладают нетривиальными симметриями;
- "очень специальные метрики", которые не входят ни в один из предыдущих пунктов.
- 0, для случаев 1.1, 2.2, 3.5;
- -- для случая 3.3;
- для случаев 2.6, 3.9, 3.13, 4.9.
для 2.2 для 3.5
Соответствующие преобразования для второй группы метрик, приводящие их к виду 2.6 (возможно, с точностью до переобозначения координат), имеют вид:
для 3.9 для 3.13 для 4.9
Перейдем к классу аффинных типов с одномерной алгеброй симметрий. Грубая классификация этих типов заключается в сравнении простейшего аффинного инварианта этих алгебр -- дивергенции соответствующего векторного поля: div Элементарное вычисление обнаруживает, что div для случаев: 2.1, 2.5, 3.1, 3.2, 3.4, 3.6, 3.8, 3.11, 3.12, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.7, 5.1, 5.3, 5.4, 5.5, 6.1 и divconst для случаев 1.2, 2.3, 2.4, 3.7, 3.10, 4.5, 4.6, 4.8, 5.2. Таким образом, аффинные типы, взятые из различных перечисленных здесь групп аффинно-неэквивалентны. Для дальнейшей более детальной классификации типов внутри групп необходимо сравнивать другие аффинные инварианты. Для их построения учтем, что все векторные поля симметрий рассматриваемых типов имеют линейные и однородные по координатам компоненты. Каждому векторному полю такого вида можно поставить в соответствие матрицу векторного поля, определяемую соотношением:
где -- вещественные числа. Из этого определения вытекает, что -- аффинный тензор валентности Его аффинными инвариантами будут, например, следующие величины:
TrTr
Отметим, что div У эквивалентных метрик должны выполняться условия коллинеарности: для всех где -- система инвариантов одной метрики, -- система инвариантов другой. Можно построить и другие инварианты, но для наших целей достаточно перечисленных. Для класса метрик с div матрицы векторного поля и соответствующие инварианты имеют вид:
Очевидно, что условия (115) выполняются для всех метрик из группы с div Для группы метрик с div матрицы соответствующих векторных полей и аффинные инварианты имеют следующий вид (инвариант выписывается только в случае, когда он отличен от нуля):
Сравнительное исследование серий инвариантов обнаруживает следующие потенциальные классы аффинно-эквивалентных метрик:
- {2.1, 3.1, 3.2, 3.4, 3.6, 3.8 , 3.11 ( в метрике), 4.1 , 4.2, 4.3 , 4.4, 4.7 , 5.1 , 5.4 , 5.5, 6.1 };
- {3.8 , 3.11 ( в метрике), 3.12, 4.1 , 4.3 , 4.7 , 5.1 , 5.4 , 6.1 };
- {4.1 , 4.3 ("+" в метрике), 5.3, 5.4 , 6.1 };
- {2.5}.
Отметим, что метрики (1.2) и (2.4) -- вырожденные, поэтому они могут быть связаны друг с другом невырожденным преобразованием, а с остальными метриками рассматриваемого класса -- нет. Внутри класса с div преобразования, связывающие различные метрики имеют вид8:
Аналогичный вид имеют и остальные преобразования для метрик с неположительными значениями инвариантов Подводя итоги нашего исследования, можно заключить, что все однородные кубические метрики общих аффинных типов делятся на 9 аффинно-неэквивалентных классов:
- класс метрик БМ (2-мерная абелева алгебра нетривиальных изометрий);
- класс (2-мерное неабелево подмножество нетривиальных изометрий, не образующее подалгебры);
- класс (2-мерная неабелева алгебра нетривиальных изометрий);
- класс (бесконечномерная алгебра изометрий);
- класс (одномерная алгебра нетривиальных изометрий );
- класс в метрике (одномерная алгебра нетривиальных изометрий, const ;
- класс в метрике (одномерная алгебра нетривиальных изометрий, const );
- класс в метрике (одномерная алгебра нетривиальных изометрий );
- класс (одномерная алгебра нетривиальных изометрий ).
След.: 16.9. Аффинно-специальные метрики Выше: 16. Применения производной Ли Пред.: 16.7. Метрики с