вход

Оглавление


16.9.  Аффинно-специальные метрики

В качестве интересного примера специальных однородных кубических метрик, которые не попали в поле зрения предыдущего исследования, рассмотрим метрики, исследованные в работе [28] и названные автором сверхсимметрическими. Речь идет о метриках следующего вида:

$\displaystyle G^{(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)}=\alpha_1(dx^1\otimes dx^1\otimes $

$\displaystyle \otimes dx^1+dx^2\otimes dx^2\otimes dx^2+dx^3\otimes dx^3\otimes dx^3)+$ (116)

$\displaystyle \alpha_2\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2+dx^1\otimes dx^3\otimes dx^3+dx^2\otimes dx^3\otimes dx^3+ $

$\displaystyle dx^1\otimes dx^1\otimes dx^2+dx^1\otimes dx^1\otimes dx^3+dx^2\otimes $

$\displaystyle \otimes dx^2\otimes dx^3)+ \alpha_3\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3), $

где $ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ -- некоторые вещественные постоянные. Метрики вида (116) играют выделенную роль среди множества кубических метрик с точки зрения ассоциативно-коммутативной алгебры, поскольку именно среди их множества следует искать кубы тричисел [29,28]. В принятой нами классификации метрики такого типа относятся к специальному типу метрик с $ \tau(G)=10,$ причем:

$\displaystyle A_1=A_2=A_3=\alpha_1;\quad $

$\displaystyle B_1=B_2=B_3=C_1=C_2=C_3=\alpha_2;\quad F=\alpha_3. $

Именно эти условия обусловливают специальность метрики (116) и допускают существование их нетривиальных симметрий, вопреки запрещающему утверждению раздела 16.7, относящемуся к метрикам общего аффинного типа без всяких условий на компоненты. Алгебраические соображения (возможность представления 3-числа в экспоненциальной форме и существование двухпараметрической абелевой группы изометрий, связанной с возможностью умножения 3-числа на унимодулярные 3-числа) позволили ограничить исследования симметрий сверхсимметричных метрик в работе [28] только теми случаями, в которых сверхсимметрические метрики допускают алгебру изометрий с размерностью не меньшей двух. В работе показано, что существуют лишь следующие сверхсимметрично-аффинно-неэквивалентные классы метрик:
  1. $ G^{(0,0,1)}$ с двумерной абелевой алгеброй нетривиальных изометрий. Она соответствует классу метрик БМ.
  2. $ G^{(1,-2/9,1)}$ с 3-мерной неабелевой разрешимой алгеброй нетривиальных изометрий;
  3. $ G^{(1,0,-1/2)}$ с 2-мерной абелевой алгеброй нетривиальных симметрий.
Последние два случая являются типично специальными, поскольку не попадают ни в какой из общих аффинных типов, рассмотренных нами ранее. Отметим, что сверхсимметричная аффинная эквивалентность подразумевает связанность метрик невырожденным аффинным преобразованием, не изменяющим вида (116). Как показано автором в [28], такие преобразования образуют двухпараметрическую подгруппу группы аффинных преобразований. Существование аффинных типов 2.2 и 3.5, которые аффинно-эквивалентны метрике БМ 1.1, но не сверхсимметрично-аффинно эквивалентны, показывает, что класс сверхсимметричных метрик выходит за пределы метрик вида (116) и его полное исследование требует рассмотрения более общих аффинных типов. Отметим также, что коммутативно-ассоциативным алгебрам соответствуют класс метрики БМ (алгебра $ H_3$ ) и класс специальной метрики $ G^{(1,0,-1/2)}$ (алгебра $ C_3$ ). Специальной метрике $ G^{(1,-2/9,1)}$ никакой ассоциативно-коммутативной алгебры не соответствует [28].


В заключение этих лекций их автор хотел бы поблагодарить Д.Г.Павлова за стимулирующие дискуссии и предоставленную возможность озвучивания части этих лекций на осенней Школе-2008, а также всех участников школы за ценные вопросы и обсуждения.

След.: Литература Выше: 16.  Применения производной Ли Пред.: 16.8.  Инвариантная классификация метрик