- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
5. Тензоры
По аналогии с тем, как из переменных можно строить однородные полиномы вида:
где -- наборы коэффициентов, из векторов и 1-форм на многообразии можно строить тензорные полиномы, вводя операцию тензорного произведения. В дальнейшем все конструкции являются локальными, т.е. должны определяться в точке. В настоящих лекциях, допуская для упрощения обозначений и сокращения объема некоторую вольность, мы будем сразу говорить про тензорные поля на многообразии, понимая под ними совокупность тензоров во всех точках многообразия и не делая различия между тензорными полями и тензорами.
Определим тензорное произведение двух 1-форм и как билинейную вещественнозначную функцию на векторных полях, действующую по правилу:
и
для всех и всех (свойство -линейности по обоим аргументам).
Определенное таким образом тензорное произведение двух 1-форм является простейшим представителем -- так называемым, простым или разложимым -- пространства тензоров валентности которые можно определить как -билинейные функции на парах векторов из Общий элемент из этого пространства, вообще говоря, не является простым или разложимым, т.е. его, в общем случае, нельзя представить в виде тензорного произведения двух 1-форм. Оказывается, что его всегда можно представить в виде линейной комбинации простых тензоров такого вида. Для того, чтобы в этом убедиться, рассмотрим тензорные произведения координатных 1-форм: Нетрудно показать, что они образуют базис в пространстве Действительно, предполагая их линейную зависимость, имеем линейную комбинацию Это означает, что на любой паре векторов Выбирая в качестве и всевозможные пары координатных векторов в силу определения (14) операции и ее линейности получаем последовательно:
т.е. -- линейно независимы. Рассмотрим произвольный тензор Обозначим
Тогда этот тензор единственным образом представляется в виде разложения:
что проверяется действием левой и правой части на произвольную пару векторов, записанных в виде их разложений в базисе К примеру действие правой части в силу определения , определения (14) и общих свойств базисов и приведет к результату:
-- координатному правилу вычисления действия тензора на пару векторов Из этого представления очевидно, что в каждой точке тензор определяет обычную билинейную форму, при этом ее компоненты зависят от выбора точки многообразия. Вспоминая о дуальности векторных полей и полей 1-форм и о соотношении нетрудно построить дуальный векторный аналог пространства Простым или разложимым элементов этого пространства является тензорное произведение пары векторов, которое определяется своим действием на произвольную пару 1-форм:
со свойствами -линейности по каждому аргументу. Тензоры такого типа являются элементами пространства тензоров Повторяя дословно все предыдущие построения и выкладки, приходим к координатному представлению любого тензора :
где а множество образует координатный базис в Построение общей конструкции тензора типа теперь очевидно.
Рассмотрим -полилинейное отображение
где и -- любые неотрицательные вещественные числа. Такое отображение определяет элемент пространства называемого пространством тензоров валентности
У каждого тензора такой валентности имеется векторных аргументов и аргументов в виде 1-форм. В координатах такой тензор представляется разложением вида:
где -- компоненты тензора в базисе -- базис в пространстве Действие тензора на свои аргументы в координатах записывается в виде суммы:
Разумеется 1-формы и векторы сами являются тензорами валентностей и соответственно, а скалярные функции формально являются элементами пространства тензоров нулевого ранга Рассмотрим теперь основные операции над тензорами.
- Тензорное произведение тензоров.
Операция тензорного произведения определяет отображение вида:
- Сумма тензоров. Суммой тензоров одинаковой валентности
называется тензор той же валентности, значение которого на его аргументах равно по определению сумме значений слагаемых
на тех же аргументах:
- Свертка или внутреннее произведение тензоров. Для любого тензора
у которого
и
определена операция свертки:
- Замечательная особенность всех введенных алгебраических операций заключается в том, что тензоры при таких операциях переходят в новые тензоры. В физике тензоры используются для представления физических величин в физических уравнениях, удовлетворяющих условию их независимости от выбора системы координат. Таким образом, рассмотренные нами операции представляют собой "разрешенные правила игры" в "тензорный конструктор": например операцию суммы тензоров можно использовать для инвариантного описания принципа аддитивности или принципа суперпозиции, а тензорное произведение -- для определения составных (неэлементарных) тензорных физических величин. Примером "запрещенной" операции является, например, операция, заключающаяся в суммировании всех компонент тензора. Полученное число, вообще говоря, не будет тензором (в данном случае скаляром) и его значение в одной системе координат, вообще говоря, не будет совпадать с суммой компонент в какой-нибудь другой системе координат. Для полноты алгебру тензоров следует дополнить тензорным анализом, включающем в себя дифференциальные операции, переводящие тензоры в тензоры. К их числу относятся, например, ковариантная производная, внешний дифференциал, производная Ли. В настоящих лекциях мы рассмотрим далее лишь последнюю операцию.
- Операция
позволяет рассматривать множество тензоров всех валентностей
как градуированную тензорную алгебру над
:
- Тензорное поле является гладким, если его значение на любых гладких аргументах является гладкой скалярной функцией. Тензорное поле гладко тогда и только тогда, когда его компоненты в некоторой системе координат являются гладкими функциями на
- Можно рассмотреть и другие интерпретации тензоров
К примеру тензор
валентности
в соответствии с нашим определением мы должны
рассматривать как отображение векторного поля и 1-формы в скалярную функцию.
Но можно посмотреть на эту ситуацию иначе. Значение
на векторе
является таким, объектом, который действуя на любую один форму даст скаляр.
Но таким свойством обладают только векторы. Значит помимо интерпретации
- Тензор называется симметричным (антисимметричным), если его значение не меняется при любой (четной) перестановке его аргументов (а при любой нечетной оно меняет знак). Аналогичное определение имеет место и для тензоров валентности Тензор может быть симметричным или антисимметричным по некоторому подмножеству аргументов (или одновременно симметричным по одному подмножеству аргументов и антисимметричным по другому). При этом тензор смешанного типа может быть симметричным или антисимметричным по векторам или 1-формам по отдельности, но не имеет никакого смысла симметризация или антисимметризация тензора по аргументам различных типов.
- С групповой точки зрения тензоры на многообразии являются различными, вообще говоря, приводимыми линейными представлениями группы общекоординатных преобразований. При этом их разбиения на симметричные или антисимметричные соответствует разложению общего линейного представления на неприводимые относительно действия группы компоненты (схемы Юнга). Здесь и -- группы перестановок, действующие на аргументы тензора валентности
След.: 6. Отображения многообразий и Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 4. Касательное и кокасательное