- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
8. Производная Ли и ее свойства
Введенные выше конструкции дифференциала и кодифференциала отображения позволяют с каждым потоком ассоциировать операцию дифференцирования вдоль потока, определяемую, как уже говорилось, независимо от существования каких-либо геометрических структур на многообразии. Пусть на многообразии задано тензорное поле и пусть -- поток векторного поляПроизводная Ли тензорного поля вдоль векторного поля в точке определяется соотношением: где -- обратный -дифференциал отображения (ф-ла (29)), вычисленный в точке
Рисунок 2 поясняет данное определение.
|
Рис. 2. К определению производной Ли. |
Через точку проходит некоторая интегральная кривая потока генерируемого векторным полем Смещаясь вдоль нее из точки на параметрическое расстояние мы попадаем в точку В этой точке мы наблюдаем тензор который мы напрямую не можем сравнить с тензором в исходной точке, поскольку эти тензоры отнесены к разным точкам многообразия и разным базисам. Но посредством обратного -дифференциала мы можем перенести тензор обратно в точку и сравнить результат с исходным тензором Разделив разность перенесенного и исходного тензоров в точке на и переходя к пределу при , получаем производную Ли, которая, таким образом, имеет смысл скорости изменения тензора вдоль потока . Данное безкоординатное определение производной Ли позволяет доказать ряд основных ее общих свойств.
- Если то и
- Производная Ли
-линейна по обоим аргументам, т.е.
- Производная Ли удовлетворяет правилу Лейбница по отношению к тензорному произведению:
- Производная Ли коммутирует со сверткой:
где Другими словами, поток векторного поля по отношению к параметру таков же, каков поток векторного поля по отношению к параметру Таким образом, имеет место равенство:
откуда после перехода к пределу при и следует доказываемое свойство:
Для доказательства второй части свойства 2 для нижнего (векторного) аргумента производной Ли достаточно заметить, что с точностью до потоки и коммутируют (см. ниже геометрическую интерпретацию скобки Ли и теорему 1 в этом параграфе), при этом Используя это обстоятельство в определении (35), приходим к цепочке равенств
что и требовалось доказать. Во второй строчке мы добавили и вычли в числителе тензор в точке в последней строчке мы воспользовались непрерывностью потока и равенством id Доказательство правила Лейбница основано на ступенчатой конструкции, использованной в доказательстве предыдущего свойства. Имеем цепочку равенств:
что и требовалось доказать. Здесь Докажем, наконец, коммутируемость производной Ли с однократной сверткой (коммутируемость кратной свертки доказывается вполне аналогично). Используя определение свертки (15) имеем:
Сделаем несколько замечаний.
- С точки зрения абстрактной алгебры производная Ли является элементом алгебры дифференцирований тензорной алгебры сохраняющим ее -градуировку. Примерами дифференцирований тензорной алгебры, не сохраняющих градуировку, являются ковариантная производная и внешний дифференциал (повышают левую компоненту градуировки на единицу) и сопряженный к дифференциал (понижает левую компоненту градуировки на единицу). Разумеется и определены лишь на внешней подалгебре
- Производная Ли -линейна, но не -линейна. Это означает, что, например, отображение которое определяет производная Ли: не является тензором типа (аналогично и для производных Ли тензоров высших валентностей).
След.: 9. Координатные формулы для Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 7. Интегральные кривые векторных