вход

Оглавление



9.  Координатные формулы для производной Ли

Выведем теперь координатные формулы для производных Ли тензоров различных валентностей. В процессе вывода нам потребуется полезное разложение координатного представления потока $ \phi^t$ в окрестности $ t=0$ с начальной точкой $ p$ :

$\displaystyle x(t)=x(0)+\dot x(0)t+\ddot x(0)\frac{t^2}{2}+o(t^2)= $

$\displaystyle =x_p+X_pt+X(X)_p\frac{t^2}{2}+o(t^2)$ (36)
где в последнем равенстве учтены начальные условия, уравнение потока (31) и его дифференциальное следствие:

$\displaystyle \ddot x(0)=\frac{d}{dt}X_p\vert _{t=0}=\frac{\partial X}{\partial... ...=0}= \left.\frac{\partial X}{\partial x^\alpha}X^\alpha\right\vert _p= X(X)_p. $

Для компонент дифференциала отображения $ \phi^t_\ast$ и для обратного $ (\phi_\ast^t)^{-1}$ имеем с точностью до $ o(t)$ :

$\displaystyle (\phi^t_\ast)^\alpha_\beta=\delta^\alpha_\beta+\left.\frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\beta}\right\vert _pt+o(t); $

$\displaystyle (\phi^t_{\ast})^{-1}{}^\alpha_\beta\approx(\phi^{-t}_\ast)^\alpha... ...a_\beta- \left.\frac{\partial X^\alpha_p}{\partial x^\beta}\right\vert _pt+o(t)$ (37)
или в безындексной форме:

$\displaystyle (\phi^t_X)_p=$id$\displaystyle _p+(\partial X)_pt+o(t);\quad (\phi^t_X)^{-1}_p=$id$\displaystyle _p-(\partial X)_pt+o(t). $

Взаимная обратность приведенных матриц с точностью до $ o(t)$ проверяется непосредственным вычислением. Для скалярной функции $ f\in\mathfrak{F}(\mathcal{M})$ определение (35) дает:

$\displaystyle L_Xf(p)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(\phi^t(p))-f(p)}{t}= $

$\displaystyle =\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x_p+tX_p+o(t))-f(p)}{t}= $

$\displaystyle =\lim\limits_{t\to0}\frac{f(p)+tX_p(f)+o(t)-f(p)}{t}=X_p(f).$ (38)
Таким образом, производная Ли вдоль $ X$ от скалярной функции совпадает с дифференцированием этой функции вдоль $ X$ .
Пример. Условие $ L_Xf=X(f)=0$ для некоторого заданного векторного поля определяет такую функцию $ f$ , у которой поверхности уровня сотканы из интегральных кривые векторного поля $ X.$ Действительно, записанное равенство на инфинитиземальном языке выражает в точности тот факт, что при смещениях вдоль потока векторного поля $ X$ функция $ f$ сохраняет свое значение. Но это и означает, что при движении вдоль потока мы всегда остаемся на некоторой поверхности уровня этой функции. Наоборот, при заданной функции $ f$ это уравнение определяет векторное поле, касательное к поверхностям уровня данной функции. Например, для функции $ f=f(x^2+y^2)$ на $ R^2$ всякое векторное поле, удовлетворяющее уравнению $ L_Xf=0,$ имеет вид $ X=Ax\partial_y-Ay\partial_x,$ где $ A$ -- произвольная функция. Это поле является касательным к семейству концентрических окружностей $ x^2+y^2=R^2,$ представляющих собой семейство линий уровня $ f.$ $ \Box$ Для векторного поля $ X\in\mathfrak{V}(\mathcal{M})$ определение (35) с учетом (36) и (37) приводит к цепочке равенств:

$\displaystyle L_XY_p=\lim\limits_{t\to0}\frac{\phi_\ast^{-1}(Y_{\phi^t(p)})-Y_p... ...s_{t\to0}\frac{(\text{id}-(\partial X)_pt+o(t))\cdot(Y_p+X(Y)_pt+o(t))-Y_p}{t}=$ (39)

$\displaystyle \lim\limits_{t\to0}\frac{X(Y)_pt-Y(X)_pt+o(t)}{t}=[X,Y]_p, $

где $ \cdot$ означает обычное матричное умножение. Таким образом, производная Ли векторного поля $ Y$ вдоль векторного поля $ X$ совпадает с формально введенной ранее скобкой Ли $ [X,Y]$ . В координатах производная Ли $ L_XY$ выражается формулой (4). В силу установленных ранее свойств скобки Ли имеют место формулы:

$\displaystyle L_XY=-L_YX;\quad [L_X,L_Y]Z=L_{[X,Y]}Z.$ (40)
Последнее равенство является прямым следствием тождества Якоби и справедливо не только на векторных полях но и на тензорах $ T$ произвольной валентности: $ [L_X,L_Y]T=L_{[X,Y]}T.$
Пример. Пусть на многообразии $ \mathcal{M}$ заданы два векторных поля $ X$ и $ Y$ и пусть их потоки задаются отображениями $ \phi_X$ и $ \phi_Y$ соответственно. Говорят, что потоки $ \phi_X$ и $ \phi_Y$ коммутируют, если

$\displaystyle (\phi_X^t\circ\phi^s_Y)(p)=(\phi^s_Y\circ\phi^t_X)(p)$ (41)
для всех $ t\in R$ и $ s\in R$ и для всякой $ p\in\mathcal{M}.$ Имеет место замечательная теорема.
Теорема 1. Следующие три утверждения эквивалентны: 1) Потоки $ \phi_X$ и $ \phi_Y$ коммутируют; 2) Семейства интегральных кривых векторных полей $ X$ и $ Y$ инвариантны отно- сительно действия потоков $ \phi_Y$ и $ \phi_X$ соответственно; 3) Скобка Ли $ [X,Y]=0.$
Доказательство. Доказательство проведем по схеме $ 1\to2\to3\to1.$ $ 1\to2.$ Докажем, что интегральные кривые векторного поля $ X$ переводятся потоком $ \phi_Y$ друг в друга. Отображение $ \phi^t_X(p)$ при различных $ t$ можно рассматривать как интегральную кривую (или ее часть) векторного поля $ X,$ проходящую через точку $ p.$ Тогда отображение $ \phi^s_Y\circ\phi^t_X$ при фиксированном $ s$ -- это отображение интегральной кривой $ \phi^t_X$ в некоторую новую кривую (увлеченную потоком $ \phi_Y$ ). Условие коммутативности потоков (41) утверждает, что полученная кривая совпадает с кривой $ \phi^t_X\circ\phi^s_Y(p),$ которая при фиксированном $ s$ по определению является интегральной кривой векторного поля $ X,$ проходящей через точку $ \phi_Y^s(p).$ Аналогично доказывается отображение друг в друга интегральных кривых поля $ Y$ друг в друга потоком $ \phi_X.$ $ 2\to3.$ Пусть интегральные кривые поля $ X$ переводятся потоком $ \phi_Y$ друг в друга. При малых $ t$ и $ s$ отображения $ \phi_X^t$ и $ \phi_Y^s$ в окрестности некоторых точек $ p\in\mathcal{M}$ и $ q\in\mathcal{M}$ имеют вид:

$\displaystyle x(t)=x(p)+tX_p+o(t);\quad x(t)=x(q)+sY_q+o(s). $

Произвольная точка $ x(t)=x(p)+tX_p+o(t)$ интегральной кривой $ \phi^t_X(p)$ под действием потока $ \phi_Y^s$ перейдет в точку:

$\displaystyle x_s(t)=x(p)+tX_p+sY_{x(p)+tX_p+o(t)}+o(s)= x(p)+tX_p+sY_p+stX(Y)_p+so(t)+o(s).$ (42)
С другой стороны, из условия того, что интегральная кривая $ \phi^t_X(p)$ переводятся потоком $ \phi_Y$ в интегральную кривую $ \phi_X^t\circ\phi_Y^s(p)$ имеем:

$\displaystyle x_s(t)=x_s(0)+tX_{x_s(0)}+o(t)=x(p)+sY_p+tX_p+stY(X)_p+to(s)+o(t)$ (43)
Приравнивая (42) и (43), получаем в порядке $ st$ требуемое равенство: $ X(Y)_p=Y(X)_p\Rightarrow[X,Y]_p=0.$ $ 3\to1.$ Как уже было отмечено выше, $ \phi_Y^s\circ\phi_X^t(p)$ -- кривая, проходящая, через точку $ \phi_X^t(p).$ В силу того, что $ [X,Y]=-L_YX=0,$ поток $ \phi_Y^s$ по смыслу производной Ли переводит векторное $ X$ в себя. В частности, он переносит касательное к кривой $ \phi^t_X(p)$ векторное поле $ X\vert _{\phi^t_X(p)}$ в векторное поле $ X\vert _{\phi^s_Y\circ\phi^t_X(p)},$ которое будет касательным к кривой $ \phi^s_Y\circ\phi^t_X(p)$ , в силу того, что

$\displaystyle X\vert _{\phi^s_Y\circ\phi^t_X(p)}=(\phi^s_Y)_\ast X\vert _{\phi^... ...=(\phi^s_Y)_\ast\circ(\phi^t_X)_\ast(d/dt)=(\phi^s_Y\circ\phi^t_X)_\ast(d/dt). $

Таким образом, отображение $ \phi_Y^s\circ\phi_X^t(p)$ переводит интегральную кривую в интегральную кривую и, в частности, точку $ p$ смещает в конечную точку интегральной кривой $ \phi_X^t(p),$ а затем переводит ее в конечную точку интегральной кривой $ \phi_Y^s\circ\phi_X^t(p),$ проходящей через точку $ \phi_Y^s(p).$ Отображение $ \phi_X^t\circ\phi_Y^s(p)$ переводит точку $ p$ в точку $ \phi_Y^s(p),$ а затем смещает ее вдоль интегральной кривой $ \phi_X^t\circ\phi_Y^s(p)$ поля $ X.$ Но по локальной теореме единственности интегральная кривая векторного поля, проходящая через некоторую точку, единственна. Следовательно, $ \phi_Y^s\circ\phi_X^t(p)=\phi_X^t\circ\phi_Y^s(p).$ $ \Box$ Производную Ли 1-формы $ \omega\in\mathfrak{V}^\ast(\mathcal{M})$ можно вычислить теперь, опираясь на производную Ли векторного поля, правило Лейбница и коммутируемость со сверткой. Учитывая, что значение $ \omega(Y)$ на произвольном векторном поле $ Y$ есть скаляр, имеем цепочку равенств:

$\displaystyle L_X\omega(Y)=X\omega(Y)=(L_X\omega)(Y)+\omega(L_XY)=(L_X\omega)(Y)+\omega([X,Y]), $

откуда

$\displaystyle (L_X\omega)(Y)=X\omega(Y)-\omega([X,Y]). $

Легко проверить, что левая часть зависит от $ Y$ $ \mathfrak{F}-$ линейно и следовательно, как и должно быть, сама производная Ли $ L_X(\omega)$ является 1-формой. Явное вычисление в координатах приводит к формуле:

$\displaystyle (L_X\omega)_\alpha=X^\beta\partial_\beta\omega_\alpha+\omega_\beta\partial_\alpha X^\beta.$ (44)

Пример. Вычислим для будущих целей производную Ли один формы $ \omega\in\mathfrak{V}^\ast(R^2)$ следующего вида:

$\displaystyle \omega=dy-f(x,y) dx. $

Результат вычислений по формуле (44) имеет вид:

$\displaystyle (L_X\omega)_1=-X^\alpha\partial_\alpha f-f\partial_1X^1+\partial_1 X^2;\quad (L_X\omega)_2=-f\partial_2X^1+\partial_2X^2.\Box$ (45)
Аналогичным образом поступим и для определения координатных формул производной Ли произвольного тензора $ T\in\mathcal{T}^{r,s}(\mathcal{M}).$ В силу правила Лейбница и коммутируемости со сверткой имеем:

$\displaystyle L_X(T(X_1,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s))=X(T(X_1,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s))= $

$\displaystyle (L_X T)(X_1,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s)+ T([X,X_1],\dots,\omega_s)+\dots+T(X_1,\dots,L_X\omega_s), $

откуда

$\displaystyle (L_X T)(X_1,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s)= $

$\displaystyle X(T(X_1,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s))- T([X,X_1],\dots,\omega_s)+\dots+T(X_1,\dots,L_X\omega_s), $

где все производные Ли в правой части уже определены и легко проверяется, что правая часть $ \mathfrak{F}$ -линейна по всем своим аргументам, за исключением $ X.$ Явное вычисление в координатах приводит к выражению:

$\displaystyle (L_XT)^{\beta_1\dots\beta_s}_{\alpha_1\dots\alpha_r}=X(T^{\beta_1... ...dots-\partial_{\alpha_r}X^\alpha T^{\beta_1\dots\beta_s}_{\alpha_1\dots\alpha}+$ (46)

$\displaystyle \partial_\beta X^{\beta_1}T^{\beta\dots\beta_s}_{\alpha_1\dots\al... ...\dots+\partial_\beta X^{\beta_s}T^{\beta_1\dots\beta}_{\alpha_1\dots\alpha_r}. $

Пример. Вычислим для будущих целей производную Ли $ L_Xg$ ковариантного симметричного тензора $ g\in\mathcal{T}^{(2,0)}(\mathcal{M}).$ Результат вычислений по формуле (46) принимает вид:

$\displaystyle (L_Xg)_{\alpha\beta}=X(g_{\alpha\beta})+\partial_\alpha X^\gamma g_{\gamma\beta}+\partial_\beta X^\gamma g_{\alpha\gamma}.$ (47)
Можно было бы стартовать с разложения $ g=g_{\alpha\beta}(dx^\alpha\otimes dx^\beta).$ С учетом правила Лейбница и формулы $ L_X(dx^\alpha)=\partial_\beta X^\alpha dx^\beta,$ вытекающей из (44), приходим к тому же выражению (47). $ \Box$
След.: 10.  Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 8.  Производная Ли и