- ... давно1
- Двойные числа начал изучать У.Клиффорд во второй половине XIX века, а дуальные - Штуди примерно в то же время.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ...
Р.Пенроуза2
- Ссылки на видео: http://www.youtube.com/watch?NR=1
v=NY7L7MRKlXo
feature=endscreen и http://www.youtube.com/watch?v=9agj1R_rX8Q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... окружности3
- При этом прямые тоже считаются окружностями (бесконечного радиуса), а значение
считается вещественным.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ...
элемента4
- Множество бустов в группе Лоренца устроено топологически тривиально, поэтому
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... плоскости5
- Обычно под функцией, голоморфной в точке понимается комплексно дифференцируемая функция
с условием (22), которое выполняется в некоторой окрестности этой точки. Иногда вместо термина "голоморфная функция" мы будем употреблять термин
"
-голоморфная функция", подразумевая, что в дальнейшем речь будет идти о
-голоморфных функциях на плоскости двойной переменной.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... получаем6
- Фактически они получаются из условий (26) заменой знака у
на противоположный.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... гипербол7
- Обычные (евклидовы) эллипсы и гиперболы согласно принятой нами терминологии следует называть
эллиптическими.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... ряды8
- Такая проверка, разумеется, годится лишь для аналитических функций вещественной переменной,
каковыми являются все элементарные функции.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... представлению9
- Для определения
можно было бы воспользоваться биномом Ньютона и
правилами, сформулированными выше, но тот же результат получается быстрее в экспоненциальном представлении.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... точки10
- Определение сопряженных точек на
дословно повторяет соответствующее определение
евклидовой геометрии (с заменой евклидова содержания терминов "окружность" и "расстояние" на гиперболическое).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... полуплоскости11
- Здесь мы временно пользуемся исходным
базисом
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... преобразований12
- Эта группа оставляет инвариантной
-эрмитову форму
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... аналитичности13
- Пример аналитической, но не голоморфной функции двойной переменной представляет собой любой сходящийся ряд
вида
Нетрудно
построить пример голоморфной и не аналитической функции, опираясь на
классический пример
из вещественного анализа.
Соответствующая гиперболическая версия этой функции имеет вид:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... базисе14
- Этот результат будет также справедлив и для любого другого неизотропного базиса. В самом же изотропном базисе
есть два уточнения: во-первых, не всякая
-гармоническая функция может быть компонентой некоторой
-голоморфной функции, во-вторых, в случае, когда может,
она не определяет однозначно вторую компоненту.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... линий15
- В изотропном базисе все особенности функции
двойной переменной сводятся к особенностям ее вещественных компонент
и
Пусть
-- изолированная особая точка
и
-- изолированная особая точка
(точки разрыва первого
или второго рода). Тогда подмножество
вида
и
-- особые
линии
(прямые), а их точка пересечения -- особая точка
Если
и
имеют множество особых точек, числом
и
соответственно, то функция
будет иметь множество особых
прямых числом
и множество особых точек числом
Далее в тексте мы ограничиваемся случаем одной особой точки и парой
особых линий. Более общий случай рассматривается аналогично.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... координат16
- Явный
вид функции
таков:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... поля17
- Теперь будет полезным держать в голове гидродинамическую интерпретацию комплексного потенциала [11].
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... взаимно-ортогональны18
- Теперь можно сформулировать геометрический критерий
-сопряженности пары
-гармонических функций: такие функции имеют равные по (гиперболическому!) модулю и псевдоортогональные градиенты.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... поля19
- Отметим, что гиперболическое условие потенциальности по существу
совпадает с евклидовым (равенство нулю внешнего дифференциала
1-формы
-- в такой форме оно вообще никак не связано с метрикой),
в то время как условие соленоидальности отличается от евклидового знаком одного из слагаемых (это связано с сигнатурой 2-мерной метрики Минковского).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... константа20
- Отметим, что она не лежит в алгебре
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... произведение21
- Мы оставляем обычную точку
за операцией умножения в алгебре
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... известны22
- Мы
игнорируем трансляции. Их включение приводит к группам Пуанкаре
P(1,1) и аффинно-унимодулярной группе SAff(2,R)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ...
соотношений23
- Теперь, строго говоря, следует различать единицу алгебры
и вещественную единицу
В скобках левых частей соотношений (148)
стоят именно единицы алгебры
, а в правых частях стоят вещественные единицы из
В случаях, когда это не приводит к путанице, мы сохраняем
обозначение
за обеими единицами.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... соответственно24
- Их следовало бы обозначить
и
, поскольку
они определяются между элементами
имеющими природу, отличную от
Из контекста в дальнейшем
всегда будет ясно, на каких элементах действуют эти операции и мы для избежания усложнения обозначений используем одни и те же символы.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ...
пространства-времени25
- Отметим, что попытка использовать
локализованные преобразования Лоренца посредством умножения на
элементы вида
выводит за рамки
-голоморфных
преобразований.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ...
часов26
- Далее мы везде отождествляем
с разностью
координат
положений часов, поскольку учет конформной
деформации длин с помощью формулы (171) приведет к
поправкам высшего порядка малости.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... вещественно27
- Но не общековариантно. Выражения
и
являются (вещественными) скалярами лишь относительно
голоморфных или антиголоморфных преобразований координат на
Общековариантным скаляром является комбинация
Отметим, что под знаком интеграла
с точностью
до граничных членов. Поэтому теория с кинетическим членом в виде
с помощью интегрирования по частям и тривиального переопределения
и
сводится к исходной версии (192). Таким образом, наша теория Гиперлэнда будет конформно-ковариантной, и группа
Hol
будет
играть в ней ту же роль, что и группа Пуанкаре в классической теории поля в плоском пространстве-времени.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... констант28
- Что лишний раз
подтверждает тезис о том, что законы механики Ньютона на самом
деле являются принципами [3].
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... его29
- При этом мы, как обычно игнорируем
граничные члены, делая определенные предположения о поведении
решений на бесконечности. Для самосогласованности суперэкстремума
следовало бы проверить эти предположения для решений, вытекающих
из модели с суперэкстремальным потенциалом.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ...
переменным30
- Таким, что
. Доказательство существования такой системы
координат представляет собой полезное упражнение с 1-формами!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... значения31
- Случай
математически возможен, но изначально ясно, что он приводит к вселенной Гиперлэнда
с тривиальными свойствами.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ... Гиперлэнда32
- Отметим, что, хотя такой способ "вычисления" требует несколько расширенного толкования экстравариационного
принципа, он, в некотором смысле, аналогичен вычислению размерности многомерного пространства-времени в теории суперструн (требование сокращения квантовых аномалий).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ...
частиц33
- В рассматриваемом нами 2-мерном случае при этом
оказывается, что
const
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.