вход

Подстрочные примечания к статье

... давно1
Двойные числа начал изучать У.Клиффорд во второй половине XIX века, а дуальные - Штуди примерно в то же время.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... Р.Пенроуза2
Ссылки на видео: http://www.youtube.com/watch?NR=1$ \&$ v=NY7L7MRKlXo$ \&$ feature=endscreen и http://www.youtube.com/watch?v=9agj1R_rX8Q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... окружности3
При этом прямые тоже считаются окружностями (бесконечного радиуса), а значение $ \{z_1,z_2;z_3,z_4\}=\infty$ считается вещественным.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... элемента4
Множество бустов в группе Лоренца устроено топологически тривиально, поэтому $ \pi_1(SO(1,3))\approx\pi_1(SO(3)).$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... плоскости5
Обычно под функцией, голоморфной в точке понимается комплексно дифференцируемая функция с условием (22), которое выполняется в некоторой окрестности этой точки. Иногда вместо термина "голоморфная функция" мы будем употреблять термин " $ \mathbb{C}$ -голоморфная функция", подразумевая, что в дальнейшем речь будет идти о $ H$ -голоморфных функциях на плоскости двойной переменной.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... получаем6
Фактически они получаются из условий (26) заменой знака у $ v$ на противоположный.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... гипербол7
Обычные (евклидовы) эллипсы и гиперболы согласно принятой нами терминологии следует называть эллиптическими.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ряды8
Такая проверка, разумеется, годится лишь для аналитических функций вещественной переменной, каковыми являются все элементарные функции.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... представлению9
Для определения $ h^n$ можно было бы воспользоваться биномом Ньютона и правилами, сформулированными выше, но тот же результат получается быстрее в экспоненциальном представлении.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... точки10
Определение сопряженных точек на $ H$ дословно повторяет соответствующее определение евклидовой геометрии (с заменой евклидова содержания терминов "окружность" и "расстояние" на гиперболическое).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... полуплоскости11
Здесь мы временно пользуемся исходным базисом $ \{1,j\}.$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... преобразований12
Эта группа оставляет инвариантной $ H$ -эрмитову форму $ (\xi,\zeta)=\bar\xi^1\zeta^1+\bar\xi^2\zeta^2$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... аналитичности13
Пример аналитической, но не голоморфной функции двойной переменной представляет собой любой сходящийся ряд вида $ \sum_{m,n}c_{mn}h^m\bar h^n.$ Нетрудно построить пример голоморфной и не аналитической функции, опираясь на классический пример $ e^{-1/x^2}$ из вещественного анализа. Соответствующая гиперболическая версия этой функции имеет вид:

$\displaystyle \Theta(h)\cdot
e^{-1/h^2}\equiv\theta(h_1)e^{-1/h_1^2}e_1+\theta(h_2)e^{-1/h_2^2}e_2.
$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... базисе14
Этот результат будет также справедлив и для любого другого неизотропного базиса. В самом же изотропном базисе есть два уточнения: во-первых, не всякая $ h$ -гармоническая функция может быть компонентой некоторой $ h$ -голоморфной функции, во-вторых, в случае, когда может, она не определяет однозначно вторую компоненту.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... линий15
В изотропном базисе все особенности функции $ F$ двойной переменной сводятся к особенностям ее вещественных компонент $ F_1$ и $ F_2.$ Пусть $ a_1$ -- изолированная особая точка $ F_1$ и $ a_2$ -- изолированная особая точка $ F_2$ (точки разрыва первого или второго рода). Тогда подмножество $ H$ вида $ (a_1,x)_{x\in\mathbb{R}}$ и $ (t,a_2)_{t\in\mathbb{R}}$ -- особые линии $ F$ (прямые), а их точка пересечения -- особая точка $ F.$ Если $ F_1$ и $ F_2$ имеют множество особых точек, числом $ N_1$ и $ N_2$ соответственно, то функция $ F$ будет иметь множество особых прямых числом $ N_1+N_2$ и множество особых точек числом $ N_1N_2.$ Далее в тексте мы ограничиваемся случаем одной особой точки и парой особых линий. Более общий случай рассматривается аналогично.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... координат16
Явный вид функции $ f$ таков: $ f=1/\sqrt{\cosh^2\psi+\sinh^2\psi}.$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... поля17
Теперь будет полезным держать в голове гидродинамическую интерпретацию комплексного потенциала [11].
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... взаимно-ортогональны18
Теперь можно сформулировать геометрический критерий $ h$ -сопряженности пары $ h$ -гармонических функций: такие функции имеют равные по (гиперболическому!) модулю и псевдоортогональные градиенты.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... поля19
Отметим, что гиперболическое условие потенциальности по существу совпадает с евклидовым (равенство нулю внешнего дифференциала 1-формы $ \tilde{\mathfrak{u}}=(\mathfrak{u}_t,-\mathfrak{u}_x)$ -- в такой форме оно вообще никак не связано с метрикой), в то время как условие соленоидальности отличается от евклидового знаком одного из слагаемых (это связано с сигнатурой 2-мерной метрики Минковского).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... константа20
Отметим, что она не лежит в алгебре $ H.$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... произведение21
Мы оставляем обычную точку $ \cdot$ за операцией умножения в алгебре $ H.$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... известны22
Мы игнорируем трансляции. Их включение приводит к группам Пуанкаре P(1,1) и аффинно-унимодулярной группе SAff(2,R)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... соотношений23
Теперь, строго говоря, следует различать единицу алгебры $ 1_H\in H$ и вещественную единицу $ 1\in \mathbb{R}.$ В скобках левых частей соотношений (148) стоят именно единицы алгебры $ H_2$ , а в правых частях стоят вещественные единицы из $ \mathbb{R}.$ В случаях, когда это не приводит к путанице, мы сохраняем обозначение $ 1$ за обеими единицами.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... соответственно24
Их следовало бы обозначить $ \stackrel{\ast}{\star}$ и $ \stackrel{\ast}{\times}$ , поскольку они определяются между элементами $ H^\ast,$ имеющими природу, отличную от $ H.$ Из контекста в дальнейшем всегда будет ясно, на каких элементах действуют эти операции и мы для избежания усложнения обозначений используем одни и те же символы.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... пространства-времени25
Отметим, что попытка использовать локализованные преобразования Лоренца посредством умножения на элементы вида $ e^{j\psi(t,x)}$ выводит за рамки $ h$ -голоморфных преобразований.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... часов26
Далее мы везде отождествляем $ L$ с разностью координат $ x$ положений часов, поскольку учет конформной деформации длин с помощью формулы (171) приведет к поправкам высшего порядка малости.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... вещественно27
Но не общековариантно. Выражения $ \mathcal{Y}=\Vert F_{,h}\Vert^2$ и $ \mathcal{X}=\Vert F_{,\bar h}\Vert^2$ являются (вещественными) скалярами лишь относительно голоморфных или антиголоморфных преобразований координат на $ H.$ Общековариантным скаляром является комбинация $ \mathfrak{c}=\mathcal{X}+\mathcal{Y}\equiv [(\triangledown U)^2-(\triangledown V)^2]/2.$ Отметим, что под знаком интеграла $ \mathfrak{c}\sim 2\Vert F_{,h}\Vert^2$ с точностью до граничных членов. Поэтому теория с кинетическим членом в виде $ \mathfrak{c}$ с помощью интегрирования по частям и тривиального переопределения $ F$ и $ \mathcal{U}$ сводится к исходной версии (192). Таким образом, наша теория Гиперлэнда будет конформно-ковариантной, и группа Hol$ (H)$ будет играть в ней ту же роль, что и группа Пуанкаре в классической теории поля в плоском пространстве-времени.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... констант28
Что лишний раз подтверждает тезис о том, что законы механики Ньютона на самом деле являются принципами [3].
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... его29
При этом мы, как обычно игнорируем граничные члены, делая определенные предположения о поведении решений на бесконечности. Для самосогласованности суперэкстремума следовало бы проверить эти предположения для решений, вытекающих из модели с суперэкстремальным потенциалом.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... переменным30
Таким, что $ \frac{D(\mathcal{X},X')}{D(h,\bar
h)}=\text{const}$ . Доказательство существования такой системы координат представляет собой полезное упражнение с 1-формами!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... значения31
Случай $ \epsilon=0$ математически возможен, но изначально ясно, что он приводит к вселенной Гиперлэнда с тривиальными свойствами.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... Гиперлэнда32
Отметим, что, хотя такой способ "вычисления" требует несколько расширенного толкования экстравариационного принципа, он, в некотором смысле, аналогичен вычислению размерности многомерного пространства-времени в теории суперструн (требование сокращения квантовых аномалий).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... частиц33
В рассматриваемом нами 2-мерном случае при этом оказывается, что $ p=\varepsilon=\mathcal{U}(0)=$const$ .$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.