- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
12. Теория гиперболического потенциала на
В этом разделе мы опишем теорию гиперболического потенциала (
-поля), которая
строится аналогично теории комплексного потенциала и опирается на
перечисленные выше аналитические и геометрические
свойства
-голоморфных функций. Картины полей, которые получаются в
этом случае, имеют пространственно-временную природу. Надлежащая
физическая интерпретация этой картины приводит к необходимости
расширения специальной теории относительности: в разделе 14 мы опишем его подробно (мы будем называть его конформной теорией относительности).
А пока займемся изучением формальных свойств гиперболических полей
простых источников.
Как и в комплексном случае будем ассоциировать
вещественную часть
этой функции c потенциалом поля (
-потенциальная функция), а мнимую часть
c функцией тока
этого поля17. Другими словами, как и в комплексном случае,
линии
const
являются эквипотенциальными линиями
-поля,
а линии
const
совпадают с линиями тока этого
поля. Эти семейства линий взаимно-ортогональны18:
(здесь
-- скалярное произведение в 2-мерной метрике Минковского
) и каждая из функций
и
удовлетворяет волновому
уравнению (103) в силу гиперболических условий Коши-Римана.
Определим напряженность
-поля по формуле:
которую можно рассматривать как гиперболическую форму представления для векторного поля
градиента функции
относительно псевдоевклидовой метрики. Формула (126)
получается с учетом соотношений (96) и условий Коши-Римана
(100).
В силу соотношения
(антиголоморфность напряженности), вытекающего из определения (126),
с учетом (96) приходим к следующему тождеству:
которое эквивалентно двум тождествам:
выражающим соответственно
-соленоидальность и
-потенциальность
гиперболического поля19.
Отметим, что условие
-потенциальности вытекает из коммутативности вторых частных производных гладкой скалярной функции,
а условие соленоидальности эквивалентно волновому уравнению
которое выполняется
автоматически, если потенциал
является вещественной частью
некоторой
-голоморфной функции.
Рассмотрим теперь интеграл
по некоторому пути Его вещественную часть назовем циркуляцией поля вдоль пути , а величину противоположную мнимой части, назовем потоком поля через кривую . С учетом определения (126) и гиперболических условий Коши-Римана для этих величин получаются следующие выражения через приращения компонент комплексного потенциала: которые можно рассматривать как иллюстрирующие физический смысл компонент комплексного -потенциала
12.1. Поле гиперболического точечного источника
Рассмотрим
-потенциал вида
который является очевидным гиперболическим вариантом кулоновского
потенциала (49). Напряженность поля, которая ему
соответствует, вычисляется по формуле (126) и имеет вид:
Любопытным новым обстоятельством является разница в областях определения формулы (131)
и (132): первая задает
-потенциал лишь в первом клине, в
то время как вторая корректно определена во всех 4-х клиньях двойной
плоскости. Алгебраическое объяснение этого обстоятельства заключается в
том, что логарифм от двойного числа, взятого из 2,3 или 4 клиньев
можно формально представить в виде
где
-- некоторое двойное число из первого клина,
--
один из знаковых множителей, определенных в (64). При этом
-- это некоторая алгебраическая константа20, которая при дифференцировании "стирается" из
конечного выражения (132). Силовые линии гиперболического точечного
источника -- это радиальные прямые с
const
а
эквипотенциальные линии -- гиперболы
const
Картина силовых линий во всех 4-х клиньях представлена на рисунке
27.
|
Рис. 27. Схематическая картина силовых линий гиперболического точечного источника. Поле постоянно по абсолютной величине на гиперболических окружностях (евклидовых гиперболах). На конусе Con поле имеет особоенность, а в соседних клиньях меняет свой характер (источник или сток). |
По формулам (130) получаем для гиперболических циркуляции и потока выражения:
12.2.
-дуальная интерпретация
Дуальная интерпретация точечного гиперболического источника
получается переходом от потенциала
в (131) к потенциалу
При этом для нового дуального поля
получается выражение:
Поле
является гиперболическим аналогом точечного вихря.
Его силовые линии -- гиперболы -- показаны на рисунке 28.
|
Рис. 28. Силовые линии точечного вихря. Ориентация линий -- общая для всех 4-х клиньев (против часовой стрелки). |
Как и в комплексном случае векторное поле оказывается ортогональным полю по отношению к псевдоевклидовой метрики. По формулам (130) получаем для гиперболических циркуляции и потока поля выражения: для контура, представленного на рис. 25 или гомотопных ему. Формулы (135) выражают гиперболическую соленоидальность и гиперболический аналог закона полного тока для поля
12.3.
-вихреисточник
По аналогии с комплексным случаем можно объединить две предыдущие
ситуации в одну, вводя в рассмотрение концепцию гиперболического
вихреисточника с комплексным зарядом
Потенциал принимает
вид:
Такой потенциал наиболее естественно интерпретировать в рамках
дуально-симметричной гиперболической теории поля, в которой
гиперболические электрические и магнитные заряды и токи присутствуют
на "равных правах". Уравнение для силовых линий такого поля
получается из (136) приравниванием мнимой части константе:
или после некоторых простых преобразований:
где
Картина силовых линий для
показана на
рис. 29
|
Рис. 29. Силовые линии точечного вихреисточника (семейство спиралей Архимеда) для Линии исходят из центра во втором и четвертом координатных клиньях, и сходятся к центру в первом и третьем клиньях. |
По формулам (130) получаем для гиперболических циркуляции и потока дуально-симметричного поля выражения: для контура, представленного на рис. 25 или гомотопных ему. Формулы (139) выражают гиперболическую теорему Гаусса и гиперболический аналог закона полного тока для дуально-симметричного поля
12.4. Гиперболический цилиндр в постоянном поле
Рассмотрим гиперболический аналог проводящего цилиндра в постоянном
поле
Эта задача описывается потенциалом
где
-- постоянный гиперболический радиус цилиндра. Напряженность
поля в окрестности такого цилиндра будет даваться формулой:
Линии напряженности поля
которые можно получить из
силовой функции в (140), представлены на рисунке
30.
|
Рис. 30. Силовые линии в окрестности гиперболического цилиндра (две крайних гиперболы слева и справа) радиуса , помещенного в однородное силовое поле . |
12.5.
-мультиполя
По аналогии с комплексным случаем определим с помощью индуктивной
формулы
потенциал точечного гиперболического
-мультиполя с мощностью
Здесь
Arth
и
-- знаковые множители для
и комплексного заряда
соответственно.
Уравнение для силовых линий имеет в полярных координатах вид.
Вид силовых линий для
показан на рисунке 31.
Рис. 31. Силовые линии гиперболического -поля в окрестности точечного гиперболического диполя и квадруполя с единичной мощностью, ориентированного вдоль вещественной оси. |
След.: 13. 2-мерная СТО Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 11. "Фракталы" на двойных