вход

Оглавление



12.  Теория гиперболического потенциала на $ H$

В этом разделе мы опишем теорию гиперболического потенциала ($ h$ -поля), которая строится аналогично теории комплексного потенциала и опирается на перечисленные выше аналитические и геометрические свойства $ h$ -голоморфных функций. Картины полей, которые получаются в этом случае, имеют пространственно-временную природу. Надлежащая физическая интерпретация этой картины приводит к необходимости расширения специальной теории относительности: в разделе 14 мы опишем его подробно (мы будем называть его конформной теорией относительности). А пока займемся изучением формальных свойств гиперболических полей простых источников. Как и в комплексном случае будем ассоциировать вещественную часть $ U$ этой функции c потенциалом поля ($ h$ -потенциальная функция), а мнимую часть $ V$ c функцией тока этого поля17. Другими словами, как и в комплексном случае, линии $ U=$const являются эквипотенциальными линиями $ h$ -поля, а линии $ V=$const совпадают с линиями тока этого поля. Эти семейства линий взаимно-ортогональны18:

$\displaystyle \triangledown U\star\triangledown V=U_{,t}V_{,t}-U_{,x}V_{,x}=U_{,t}U_{,x}-U_{,x}U_{,t}=0$ (125)
(здесь $ \star$ -- скалярное произведение в 2-мерной метрике Минковского $ \Xi$ ) и каждая из функций $ U$ и $ V$ удовлетворяет волновому уравнению (103) в силу гиперболических условий Коши-Римана. Определим напряженность $ \mathfrak{u}$ $ h$ -поля по формуле:

$\displaystyle \mathfrak{u}=\mathfrak{u}_t+j\mathfrak{u}_x=-\overline{\frac{dF}{dh}}=-\frac{d\bar F}{d\bar h}=-U_{,t}+jU_{,x},$ (126)
которую можно рассматривать как гиперболическую форму представления для векторного поля градиента функции $ U$ относительно псевдоевклидовой метрики. Формула (126) получается с учетом соотношений (96) и условий Коши-Римана (100). В силу соотношения $ \mathfrak{u}=\mathfrak{u}(\bar h)$ (антиголоморфность напряженности), вытекающего из определения (126), с учетом (96) приходим к следующему тождеству:

$\displaystyle \frac{\partial \mathfrak{u}}{\partial h}=\frac{1}{2}[\mathfrak{u}...
...}_{x,x}+j(\mathfrak{u}_{t,x}+\mathfrak{u}_{x,t})]=0, \vrule depth 15pt width0pt$ (127)
которое эквивалентно двум тождествам:

divh$\displaystyle   \mathfrak{u}\equiv \mathfrak{u}_{t,t}+\mathfrak{u}_{x,x}=0;$   roth$\displaystyle   \mathfrak{u}\equiv \mathfrak{u}_{t,x}+\mathfrak{u}_{x,t}=0,$ (128)
выражающим соответственно $ h$ -соленоидальность и $ h$ -потенциальность гиперболического поля19. Отметим, что условие $ h$ -потенциальности вытекает из коммутативности вторых частных производных гладкой скалярной функции, а условие соленоидальности эквивалентно волновому уравнению $ \Box U=0,$ которое выполняется автоматически, если потенциал $ U$ является вещественной частью некоторой $ h$ -голоморфной функции. Рассмотрим теперь интеграл

$\displaystyle \Omega[\mathfrak{u},\gamma]=\int\limits_{\gamma}\mathfrak{u}  d\bar
h=\int\limits_{\gamma}\mathfrak{u}_{t} dt-\mathfrak{u}_{x}  dx+
$

$\displaystyle +j\int\limits_{\gamma}\mathfrak{u}_{x} dt-\mathfrak{u}_{t}  dx=\Upsilon[\mathfrak{u},\gamma]-j\Phi[\mathfrak{u},\gamma]$ (129)
по некоторому пути $ \gamma.$ Его вещественную часть $ \Upsilon[\mathfrak{u},\gamma]$ назовем циркуляцией поля $ \mathfrak{u}$ вдоль пути $ \gamma$ , а величину $ \Phi[\mathfrak{u},\gamma],$ противоположную мнимой части, назовем потоком поля $ \mathfrak{u}$ через кривую $ \gamma$ . С учетом определения (126) и гиперболических условий Коши-Римана для этих величин получаются следующие выражения через приращения компонент комплексного потенциала:

$\displaystyle \Upsilon[\mathfrak{u},\gamma]=-\delta_\gamma U;\quad \Xi[\mathfrak{u},\gamma]=-\delta_\gamma V,$ (130)
которые можно рассматривать как иллюстрирующие физический смысл компонент комплексного $ h$ -потенциала $ F(h).$


12.1.  Поле гиперболического точечного источника

Рассмотрим $ h$ -потенциал вида

$\displaystyle F(h)=-q\ln h,$ (131)
который является очевидным гиперболическим вариантом кулоновского потенциала (49). Напряженность поля, которая ему соответствует, вычисляется по формуле (126) и имеет вид:

$\displaystyle \mathfrak{u}=\frac{q}{\bar h}=\frac{qh}{\vert h\vert^2}=q\left(\frac{t}{t^2-x^2}+j\frac{x}{t^2-x^2}\right).$ (132)
Любопытным новым обстоятельством является разница в областях определения формулы (131) и (132): первая задает $ h$ -потенциал лишь в первом клине, в то время как вторая корректно определена во всех 4-х клиньях двойной плоскости. Алгебраическое объяснение этого обстоятельства заключается в том, что логарифм от двойного числа, взятого из 2,3 или 4 клиньев можно формально представить в виде $ \ln h+\ln J,$ где $ h$ -- некоторое двойное число из первого клина, $ J$ -- один из знаковых множителей, определенных в (64). При этом $ \ln J$ -- это некоторая алгебраическая константа20, которая при дифференцировании "стирается" из конечного выражения (132). Силовые линии гиперболического точечного источника -- это радиальные прямые с $ \psi=$const$ ,$ а эквипотенциальные линии -- гиперболы $ \varrho=$const$ .$ Картина силовых линий во всех 4-х клиньях представлена на рисунке 27.

\begin{picture}(50.33,50.50)
\unitlength=1mm
\emline{0.83}{25.00}{1}{50.00}{25.0...
...{\makebox(0,0)[ct]{$t$}}
\put(26.33,49.33){\makebox(0,0)[lc]{$x$}}
\end{picture}
Рис. 27. Схематическая картина силовых линий гиперболического точечного источника. Поле постоянно по абсолютной величине на гиперболических окружностях (евклидовых гиперболах). На конусе Con$ (0)$ поле имеет особоенность, а в соседних клиньях меняет свой характер (источник или сток).


По формулам (130) получаем для гиперболических циркуляции и потока выражения:

$\displaystyle \Upsilon[\mathfrak{u},\mathcal{C}]=0;\quad \Phi[\mathfrak{u},\mathcal{C}]=\pi_Hq$ (133)
для контура, представленного на рис. 25 или гомотопных ему. Формулы (133) выражают гиперболическую потенциальность и гиперболическую теорему Гаусса для поля $ \mathfrak{u}.$


12.2.  $ h$ -дуальная интерпретация

Дуальная интерпретация точечного гиперболического источника получается переходом от потенциала $ F(h)$ в (131) к потенциалу $ jF(h).$ При этом для нового дуального поля $ \mathfrak{b}$ получается выражение:

$\displaystyle \mathfrak{b}=j\frac{d\bar F}{d\bar h}=-\frac{qj}{\bar h}=-q\frac{x+jt}{t^2-x^2}.$ (134)
Поле $ \mathfrak{b}$ является гиперболическим аналогом точечного вихря. Его силовые линии -- гиперболы -- показаны на рисунке 28.

\begin{picture}(51.33,50.67)
\unitlength=1mm
\emline{0.33}{25.00}{1}{49.67}{25.0...
...{\makebox(0,0)[cb]{$t$}}
\put(26.33,48.67){\makebox(0,0)[lc]{$x$}}
\end{picture}
Рис. 28. Силовые линии точечного вихря. Ориентация линий -- общая для всех 4-х клиньев (против часовой стрелки).

Как и в комплексном случае векторное поле $ \mathfrak{b}$ оказывается ортогональным полю $ \mathfrak{u}$ по отношению к псевдоевклидовой метрики. По формулам (130) получаем для гиперболических циркуляции и потока поля $ \mathcal{B}$ выражения:

$\displaystyle \Phi[\mathcal{B},\mathcal{C}]=0;\quad \Upsilon[\mathcal{B},\mathcal{C}]=\pi_Hq.$ (135)
для контура, представленного на рис. 25 или гомотопных ему. Формулы (135) выражают гиперболическую соленоидальность и гиперболический аналог закона полного тока для поля $ \mathfrak{u}.$


12.3.  $ h$ -вихреисточник

По аналогии с комплексным случаем можно объединить две предыдущие ситуации в одну, вводя в рассмотрение концепцию гиперболического вихреисточника с комплексным зарядом $ \mathcal{Q}=q-jm.$ Потенциал принимает вид:

$\displaystyle F(z)=-\mathcal{Q}\ln h=-q\ln\varrho+m\psi-j(-m\ln\varrho+q\psi).$ (136)
Такой потенциал наиболее естественно интерпретировать в рамках дуально-симметричной гиперболической теории поля, в которой гиперболические электрические и магнитные заряды и токи присутствуют на "равных правах". Уравнение для силовых линий такого поля получается из (136) приравниванием мнимой части константе:

$\displaystyle m\ln\varrho+q\psi=C \Leftrightarrow (t^2-x^2)e^{-(2q/m)\text{Arcth}(x/t)}=C,$ (137)
или после некоторых простых преобразований:

$\displaystyle (t+x)^{1-\alpha}(t-x)^{1+\alpha}=$const$\displaystyle ,$ (138)
где $ \alpha=q/m.$ Картина силовых линий для $ \alpha=-2$ показана на рис. 29

\includegraphics[width=.35\textwidth]{vihrist.eps}
Рис. 29. Силовые линии точечного вихреисточника (семейство спиралей Архимеда) для $ q/m=-2.$ Линии исходят из центра во втором и четвертом координатных клиньях, и сходятся к центру в первом и третьем клиньях.

По формулам (130) получаем для гиперболических циркуляции и потока дуально-симметричного поля $ \mathfrak{u}$ выражения:

$\displaystyle \Upsilon[\mathcal{B},\mathcal{C}]=-\pi_Hm;\quad \Phi[\mathcal{B},\mathcal{C}]=\pi_Hq$ (139)
для контура, представленного на рис. 25 или гомотопных ему. Формулы (139) выражают гиперболическую теорему Гаусса и гиперболический аналог закона полного тока для дуально-симметричного поля $ \mathfrak{u}.$


12.4.  Гиперболический цилиндр в постоянном поле

Рассмотрим гиперболический аналог проводящего цилиндра в постоянном поле $ \mathfrak{u}_0.$ Эта задача описывается потенциалом

$\displaystyle F(h)=-2\mathfrak{u}_0RZ(h/R)=-\mathfrak{u}_0(h+R^2/h),$ (140)
где $ R$ -- постоянный гиперболический радиус цилиндра. Напряженность поля в окрестности такого цилиндра будет даваться формулой:

$\displaystyle \mathfrak{u}=\mathfrak{u}_0-\frac{\mathfrak{u}_0R^2}{\bar h^2}=\m...
...hfrak{u}_0R^2\left(\frac{t^2+x^2}{(t^2-x^2)^2}-j\frac{2tx}{(t^2-x^2)^2}\right).$ (141)
Линии напряженности поля $ \mathfrak{u},$ которые можно получить из силовой функции в (140), представлены на рисунке 30.
\includegraphics[width=.35\textwidth]{zhhh.eps}
Рис. 30. Силовые линии в окрестности гиперболического цилиндра (две крайних гиперболы слева и справа) радиуса $ R=1$ , помещенного в однородное силовое поле $ \mathfrak{u}_0=1$ .


12.5.  $ h$ -мультиполя

По аналогии с комплексным случаем определим с помощью индуктивной формулы

$\displaystyle F_n(h)=\frac{\mathcal{Q}^{(n)}}{\mathcal{Q}^{(n-1)}}\frac{dF_{n-1...
...\epsilon_Q\frac{\vert\mathcal{Q}^{(n)}\vert e^{-j(n\psi-\delta_n)}}{\varrho^n},$ (142)
потенциал точечного гиперболического $ 2(n-1)$ -мультиполя с мощностью $ \mathcal{Q}^{(n)}.$ Здесь $ \vert\mathcal{Q}^{(n)}\vert=\sqrt{\vert(\mathcal{Q}^{(n)}_e)^2-(\mathcal{Q}^{(n)}_m)^2\vert},$ $ \delta_n=$Arth$ {\mathcal{Q}^{(n)}_m/\mathcal{Q}^{(n)}_e},$ $ \epsilon$ и $ \epsilon_Q$ -- знаковые множители для $ h$ и комплексного заряда $ \mathcal{Q}$ соответственно. Уравнение для силовых линий имеет в полярных координатах вид.

$\displaystyle \varrho=C\sqrt[n]{\sinh(n\psi-\delta_n)}$ (143)
Вид силовых линий для $ n=2,3$ показан на рисунке 31.
\includegraphics[width=.3\textwidth,clip]{diph11.eps}
 
\includegraphics[width=.3\textwidth,clip]{diph22.eps}
Рис. 31. Силовые линии гиперболического $ h$ -поля в окрестности точечного гиперболического диполя и квадруполя с единичной мощностью, ориентированного вдоль вещественной оси.


След.: 13.  2-мерная СТО Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 11.  "Фракталы" на двойных