- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
13. 2-мерная СТО
В настоящем разделе мы покажем, что алгебра двойных чисел является естественной и самодостаточной для изложения
фактов 2-мерной СТО. Несмотря на
некоторую (кажущуюся!) искусственность такого рассмотрения, оно во многих отношениях полезно
и поучительно. В частности, оно оттеняет алгебраический аспект
псевдоевклидовой геометрии и геометрические аспекты алгебры двойных
чисел и представляет собой естественную основу для дальнейших
обобщений.
13.1. 2-мерное пространство-время и векторные операции в нем
Будем отождествлять элементы с точками-событиями 2-мерного пространства-времени Минковского Таким образом, с каждым элементом мы ассоциируем 2-мерный радиус-вектор Элементы как элементы алгебры образуют 2-мерное вещественное линейное пространство. Рассмотрим пару элементов и и комплексно-значную полуторалинейную форму на них: Очевидно, что такая форма, с одной стороны, полностью определяется средствами алгебры с другой -- определяет вещественные симметричное и антисимметричное (косое) скалярные произведения по формулам: Симметричное произведение21, как это уже отмечалось выше, является 2-мерным вариантом псевдоевклидовой метрики Минковского, а антисимметричное -- 2-мерным вариантом векторного произведения, которое теперь является (псевдо)скаляром и отвечает за геометрию ориентированных объемов (т. е. площадей) пространства13.2. Алгебра изометрий
Группы изометрий Iso и Iso билинейных форм (145) хорошо известны22: первая представляет собой 2-мерную группу Лоренца Lor(1,1) вторая -- группу унимодулярных преобразований SL(2,R). Рассмотрим произвольный (невырожденный) внутренний автоморфизм алгебры порождаемый умножениями где и запишем его в матричном виде: Далее непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формул:
Отсюда с учетом (146) следует важное равенство:
IsoIsoAut
где Aut -- группа внутренних автоморфизмов алгебры порожденная умножениями на невырожденные элементы. Отметим, что наличие метрики, ассоциированной с косым произведением, позволяет интерпретировать элементы как вещественные спиноры. Матрица преобразования в (146), описывающая внутренние автоморфизмы умножений алгебры , обладает свойством симметрии при ее транспонировании как относительно главной, так и относительно побочной диагонали. Назовем такую матрицу абсолютно симметричной. Из тривиального равенства выражающего алгебраическую замкнутость следует, что абсолютно симметричные матрицы образуют группу относительно матричного умножения. Эта группа представляет собой прямое произведение и, помимо преобразований Лоренца, включает в себя однородные дилатации: В дальнейшем для краткости мы будем обозначать эту группу Cn и называть ее однородной конформной группой на . Очевидно, что инвариантными геометрическими объектами для этой группы будут конуса Con Рассмотрим теперь дискретные преобразования : следующих независимых типов: Очевидно, что на алгебраическом языке эти операции записываются следующим образом:
откуда видно, что лишь операция допускает представление (146).
13.3. Коалгебра
Рассмотрим алгебру двойственную к элементами которой служат линейные функционалы (1-формы, ковекторы) над Введем обозначение для значения 1-формы на элементе (это вещественное число). Выбирая базис в алгебре дуальным к базису в будем иметь систему соотношений23: Тогда значение произвольной 1-формы на элементе будет равно: Имея в распоряжении две невырожденные метрики, ассоциированные с операциями и можно ввести два отображения сопряжения по формулам: Будем называть первое сопряжение векторным, а второе -- спинорным. В компонентах с учетом (148) и (150) для произвольного будем иметь: Формулы (151) соответствуют известным правилам "жонглирования индексами" с помощью псевдоевклидовой и спинорной метрик в индексном представлении и устанавливают известные изоморфизмы линейных метризованных пространств с невырожденными метриками. Коалгебра так же как и индуцирует пару операций скалярного произведения: и соответственно24по правилам: которые мы будем называть коскалярным и кокосым или коспинорным. Алгебры или взаимно сопряжены, т.е. Это означает, что элементы можно интерпретировать как 1-формы по отношению к элементам Элементарно проверяются следующие тождества:
Символически эти правила записываются короче, если определить таблицы сопряжений с помощью пары элементов над парой операций :
13.4. Системы отсчета на
С позиций стандартной СТО элементы введенной коалгебры представляют различные системы отсчета. Более точно, определим класс инерциальных систем отсчета на как совокупность элементов подкоалгебры по умножению на единичной гиперболической окружности на Эта окружность на имеет 4 несвязные компоненты: на двух из них а на двух других Будем называть подкласс систем отсчета из первых двух компонент причинным (ему соответствуют системы отсчета с досветовыми скоростями) и обозначать его а класс систем отсчета из вторых двух компонент апричинным (ему соответствуют системы отсчета со сверхсветовыми скоростями) и обозначать его Внутри каждого из названных подклассов выделяются еще по две связные компоненты: в положительных и отрицательных полуплоскостях Im для и Re для Мы будем обозначать их соответственно и и называть положительными-отрицательными и правыми-левыми системами отсчета. Таким образом, полный класс всех инерциальных систем отсчета допускает следующее разбиение: Нетрудно убедиться, что компоненты разбиения получаются из класса положительных причинных систем отсчета с помощью дискретных операций (147): Следует отметить, что ввиду формального равноправия всех координатных клиньев на плоскости или разбиение (155) имеет несколько условный смысл. Рассмотрим теперь "нормальную" (т.е. досветовую и ориентированную в будущее) систему отсчета, взятую из компоненты Ей соответствует некоторый элемент который в выбранном нами базисе имеет вид: причем его компоненты и удовлетворяют условиям: Первое условие выражает факт положительной ориентации отсчета времени, второе -- факт его универсального (постоянного) "единичного темпа". Формально последнее связано с единичной нормировкой ковектора Условия (156) автоматически удовлетворяются параметризацией: где параметр имеет геометрический смысл гиперболического угла в гиперболической полярной системе координат и физический смысл известного параметра быстроты ( -- пространственная скорость системы отсчета). В компонентах (в параметризации скорости ) 1-форма принимает вид: Теперь, для заданной системы отсчета и для любого элемента-события мы можем определить его временную компоненту по отношению к системе отсчета с помощью простой формулы: Для произвольного с помощью формул (149), (157) и (158) определение (159) дает временную часть преобразований Лоренца:
Для вектора характеризующего временной интервал в системе покоя некоторых часов, получаем формулу релятивистского растяжения промежутков времени:
Чтобы перейти к определению пространственных проекций событий, необходимо определить единичную 1-форму из компоненты ортогональную т. е. удовлетворяющую соотношению: С помощью формул (152) и (158) нетрудно найти ее координатный вид: Теперь для пространственной проекции произвольного события по отношению к системе отсчета с помощью формул (149), (160) мы можем дать следующее определение: что дает по существу пространственную часть преобразований Лоренца. Рассмотрим тождественный линейный оператор Непосредственной проверкой с помощью формул (158) и (160) можно убедиться в справедливости следующего разложения этого оператора: Действуя этим оператором на векторы-события или 1-формы получаем их разложение на пространственные и временные компоненты:
где и
Аналогично, вводя разложение единичного оператора в тензорном расслоении :
можно всякий тензор на разложить на пространственно-временные компоненты. Например, метрические тензоры и ассоциированные с симметричным и косым произведениями соответственно имеют следующие представления:
которые по существу имеют смысл 2-мерного (диадного) аналога тетрадного описания величин в СТО и ОТО [32]. Отметим, что специфика 2-мерия заключается в наличии взаимно-однозначного соответствия пространственных и временных элементов диады Рассмотрим пару элементов и из которые параметризуются скоростями и по формуле (158). Легко убедиться, что их произведение в коалгебре определяет элемент
где Другими словами, последовательная смена систем отсчета описывается умножением в алгебре двойных чисел соответствующих элементов из Это умножение автоматически индуцирует релятивистский закон сложения скоростей. Интересное следствие этого факта связано с алгебраической интерпретацией активных и пассивных преобразований: умножения нормированных на единицу элементов в коалгебре описывают пассивные преобразования Лоренца (смену точки зрения на одни и те же события), в то время как умножения нормированных на единицу элементов в алгебре описывают активные преобразования Лоренца (переход к другим событиям, на которые мы смотрим с той же точки зрения). Отсюда, в частности, следуют тождества:
для всякого элемента и элементов параметризуемых одним и тем же параметром Эти тождества являются математическим выражением следующего утверждения: событие, переведенное активным бустом в новое событие, не изменяет своих пространственно-временных проекций в системе отсчета, соответствующей этому бусту. Все приведенные выше построения допускают локализацию т. е. переход к дифференциально-геометрическим объектам (касательным векторам и дифференциальным 1-формам). Для этого достаточно допустить зависимость параметра от и а все конструкции рассматривать в касательных и кокасательных пространствах и Такой переход позволяет рассматривать протяженные деформирующиеся системы отсчета и даже включать гравитацию.
След.: 14. Конформная теория относительности Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 12. Теория гиперболического потенциала