3. Алгебра и геометрия двойных чисел
В этом и последующих разделах мы постараемся систематизировать и дополнить сведения о двойных числах, рассеянные по различным источникам
[
13,
14,
12,
15,
26,
27,
17].
Определим алгебру двойных чисел
как 2-мерный
-модуль с парой образующих
и таблицей умножения:
|
(57) |
Элементы
будем записывать в виде:
где
имея ввиду дальнейшие приложения
этой алгебры для описания 2-мерного пространства-времени. По аналогии
с комплексными числами, вещественное число
Re
называется
вещественной частью двойного числа
а
вещественное число
Im
называется
мнимой
частью двойного числа
Алгебра двойных чисел с таблицей
умножения (
57) не образует числового поля, поскольку содержит
делители нуля, т. е. уравнение
может выполняться при
отличных от нуля элементах
и
Геометрическая
интерпретация двойных чисел аналогична интерпретации комплексных
чисел: на плоскости двойной переменной (коротко -- гиперболической
плоскости) каждому двойному числу соответствует радиус-вектор,
координаты которого суть вещественная и мнимая часть этого числа При
этом сумма и разность двойных чисел изображается стандартным правилом
параллелограмма для соответствующих радиус-векторов на
гиперболической плоскости.
Инволютивную операцию
комплексного сопряжения для двойных
чисел определим следующим образом:
Геометрически эта операция описывает отражение гиперболической
плоскости относительно оси
Im
Аналогично
комплексному случаю, пару
можно рассматривать как
независимые двойные координаты на гиперболической плоскости,
которые связаны с декартовыми координатами посредством формул
(
5) с заменой
и
на
Комплексная координатная билинейная форма
разлагается на симметричную
и
кососимметричную
неприводимые компоненты следующим
образом:
|
(58) |
где
-- псевдоевклидова метрическая форма,
-- 2-мерная форма объема.
Мы видим, что алгебра двойных чисел индуцирует на плоскости двойной
переменной 2-мерную пседоевклидову (гиперболическую) геометрию с метрической формой
, что объясняет принятый нами термин "гиперболическая
плоскость".
Определим (псевдо)норму
и модуль
элемента
согласно следующим формулам:
|
(59) |
Отметим, что введенные норма и модуль не удовлетворяют евклидовому
свойству нормы:
Это обстоятельство тесно
связанно с псевдоевклидовой геометрией двойных чисел, а точнее, с наличием
в алгебре
вырожденных элементов (делителей нуля), которые мы
выделяем в отдельное подмножество
|
(60) |
Отметим важное свойство множества
: для всякого
(
является в
идеалом по умножению).
Для невырожденных элементов определена операция их обращения:
|
(61) |
Множество
Con |
(62) |
будем называть конусом точки
Переход к гиперболическим полярным координатам и экспоненциальной
форме представления двойного числа имеет ряд особенностей, которых
нет в случае комплексных чисел.
Con
(пара прямых
) разбивает всю гиперболическую плоскость на четыре
клиновидные области, обозначенные на рисунке цифрами I, II, III и
IV (рис.
6).
|
Рис. 6. Область
изменения
угла
на плоскости
. Ориентация согласована в
противоположных клиньях и противоположна в соседних. Для
различения углов в различных клиньях можно нумеровать угол
индексом
:
|
Непосредственной проверкой можно убедиться, что в каждой из
отмеченных областей двойные числа допускают гиперболическое
полярное представление вида:
|
(63) |
где для каждого из клиньев имеют место следующие определения
величин:
|
(64) |
где
,
Arg
--
гиперболический
аргумент.
Таким образом, в каждом из клиньев
а сами
клинья параметризуются отдельными экземплярами вещественных
прямых, которые в совокупности образуют
многообразие
угловых переменных в виде ориентированной дизъюнктной суммы
Более наглядно многообразие
можно представить себе, компактифицируя каждое из
в открытый
интервал и склеивая интервалы в их концах в окружность с четырьмя
выколотыми точками.Отметим, что множество двойных чисел с нулевой нормой не
описывается ни одной из координатных карт введенной выше
гиперболической полярной системы координат.
Справедливость гиперболической формулы Эйлера:
проверяется разложением левых и
правых частей в формальные ряды Маклорена (которые сходятся в
покомпонентно) и сравнением их
вещественных и мнимых частей. Гиперболическая формула Эйлера
приводит к экспоненциальной форме представления двойных чисел:
|
(65) |
где в последнем равенстве мы перешли к "комплексному
гиперболическому углу"
|
(66) |
При этом
произведение пары двойных чисел сводится к сложению их комплексных
углов и перемножению знаковых множителей
В завершение этого параграфа мы приведем для наглядной иллюстрации
геометрических свойств плоскости
несколько гиперболических аналогов евклидовых
геометрических объектов и отношений между ними.
Поскольку геометрия плоскости
совпадает с геометрией двумерного пространства-времени Минковского
группой непрерывных изометрий
является 3-мерная группа Пуанкаре:
|
(67) |
Хотя формально гиперболические вращения описываются множителем
вполне аналогичным комплексному
некомпактность пространства углов и группы гиперболических вращений
приводит к заметным визуальным отличиям в ситуациях, аналогичных
простым и привычным ситуациям на евклидовой плоскости.
На рисунке
7 показана пара равных друг другу
равносторонних треугольников, которые получаются друг из друга
гиперболическим вращением вокруг начала системы координат (зеленые линии (гиперболы) -- это компоненты метрической окружности на
изображающие орбиты группы гиперболических вращений).
|
Рис. 7. Конгруэнтные равносторонние треугольники на
. |
На рисунке
8 представлены семейства гиперболических
эллипсов и гипербол
7, метрическое определение которых формально совпадает
с евклидовым:
const
где
-- гиперболические расстояния от точки кривой до
пары фиксированных точек двойной плоскости.
|
Рис. 8. Софокусные эллипсы и гиперболы на
|
Наконец, на рисунке
9 представлены семейства гиперболических
спиралей: слева -- гиперболические спирали Архимеда с полярным уравнением
справа -- гиперболические логарифмические
спирали с уравнением
|
Рис. 9. Семейство спиралей на
. |
След.: 4. Элементарные функции на
Выше: Алгебра, геометрия и физика
Пред.: 2. Алгебра и некоторые