вход

Оглавление



6.  Компактификация $ H$

Для корректного определения некоторых будущих конструкций полезно рассмотреть компактифицированную версию $ H,$ определение и свойства которой наиболее просты в изотропном базисе. Мы рассмотрим два способа компактификации, каждый из которых связан с определенной факторизацией $ H$ по точкам, имеющим бесконечные изотропные координаты. При первом способе мы пополняем $ H$ четырьмя бесконечно-удаленными прямыми $ L_\infty$ и четырьмя бесконечно-удаленными точками $ \Omega_\infty$ :

$\displaystyle H\to H^\square=H\cup L_\infty\cup\Omega_\infty,$ (79)
где

$\displaystyle L_\infty=\{(-\infty,a)\}\cup\{(+\infty,a)\} \cup\{(a,-\infty)\}\cup\{(a,+\infty)\},\quad a\in \mathbb{R} $

и

$\displaystyle \Omega_\infty=\{(+\infty,+\infty)\}\cup\{(-\infty,+\infty)\}\cup $

$\displaystyle \cup \{(-\infty,-\infty)\}\cup\{(+\infty,-\infty)\}. $

Такая компактификация осуществляется преобразованием $ h\mapsto \tanh h.$ На рис. 18 (слева) показаны окрестности некоторых конечных и бесконечно-удаленных точек. Некоторые расходящиеся на $ H$ последовательности становятся сходящимися на $ H^\square$ (например, последовательность $ h_n=e_1+ne_2$ становится сходящейся, а $ h_n=e_1+(-1)^nne_2$ остается расходящейся). Второй способ связан с последующей попарной склейкой противоположных бесконечно-удаленных прямых в $ H^\square$ (получится пара бесконечно удаленных окружностей $ S_{1\infty}$ и $ S_{2\infty}$ ), при этом четыре бесконечно-удаленных точки склеиваются в одну $ O_\infty$ :

$\displaystyle H^\square\to H^\circledcirc=H^\square_0\cup S_{1\infty}\cup S_{2\infty}\cup O_\infty$ (80)
(рис. 18 (справа)). Очевидно, что полученное таким образом $ H^\circledcirc$ гомеоморфно двумерному тору. Теперь последовательность $ h_n=e_1+(-1)^nne_2$ становится сходящейся на $ H^\circledcirc,$ а функция $ 1/h$ будет непрерывной на $ H^\circledcirc.$

\begin{picture}(25.50,26.33) \unitlength=1mm \emline{3.17}{2.83}{1}{3.17}{25.17}... ...00}{73}{24.83}{6.33}{74} \emline{24.33}{2.83}{75}{25.00}{4.67}{76} \end{picture}
  \begin{center}\vbox{\input{comp1.pic} }\end{center}
Рис. 18. Структура $ H^\square$ и $ H^\circledcirc.$

Следует отметить, что операция деления в $ H^\circledcirc$ определена на всех элементах. К примеру,

$\displaystyle \frac{1}{0}=O_\infty;\quad \frac{1}{2e_1}=\frac{e_1+e_2}{2e_1+0e_2}=\frac{1}{2}e_1+\frac{1}{0}e_2=\frac{1}{2}e_1+\infty e_2\in S_{2\infty}. $

Наконец,

$\displaystyle \frac{0e_1+ae_2}{0e_1+be_2}\equiv0e_1+\frac{a}{b}e_2,$ (81)
что следует рассматривать, как доопределение деления делителей нуля одного типа, которое мы используем далее при определении дифференцирования. Отметим также, что идея компактификации, основанная на гиперболическом аналоге стереографической проекции не годится, поскольку гиперболическая сфера -- некомпактное многообразие. Вопрос о стереографической проекции гиперболической сферы на $ H$ требует выхода в алгебру тройных чисел $ P_3$ и в настоящей статье мы его не рассматриваем.
След.: 7.  Дробно-линейные преобразования и Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 5.  Изотропный базис и