- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
7. Дробно-линейные преобразования и функция Жуковского на
Теперь мы можем определить семейство дробно-линейных преобразований
плоскости двойной переменной как голоморфный дробно-линейный
автоморфизм:
вида:
где
-- матрица, элементами которой являются двойные числа из Как это видно из представления элемента в изотропном базисе в (82), семейство изоморфно где -- вещественная прямая, компактифицированная на окружность. Из определения (82) легко устанавливаются следующие важные свойства семейства
- откуда следует также и еще один изоморфизм:
- Con
- ConCon
- ConCon
- сохраняет сопряженные точки10: Частным случаем сохранения сопряженности является круговое свойство: гиперболические дробно-линейные преобразования переводят гиперболические окружности в гиперболические окружности (точки на окружностях самосопряжены).
- Сохранение двойного отношения: На связных компонентах окружности двойное отношение 4-х точек как и в евклидовом случае оказывается вещественным!
Рис. 19. |
С помощью двойных чисел можно определить еще одну модель геометрии Лобачевского. В качестве прямых этой геометрии можно рассматривать куски гиперболических окружностей в верхней полуплоскости11 в верхней полуплоскости (рис. 20 слева). Нетрудно убедиться, что любая пара точек в верхней полуплоскости определяет единственную прямую, а вещественная ось играет роль абсолюта.
Рис. 20. Реализация геометрии Лобачевского на двойных числах. |
Также нетрудно убедиться, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесчисленное множество параллельных ей прямых (рис. 20 справа). В качестве расстояния между парой точек и можно взять модуль логарифма двойного отношения: где -- точка пересечения прямой, содержащей и и абсолюта, -- гиперболические углы точек и Имеют место соотношения:
Re
В заключение этого параграфа рассмотрим свойства гиперболической версии функции Жуковского:
которую следует отнести к классу дробно-рациональных преобразований Эта функция, как и функция Жуковского на двукратно накрывает плоскость двойной переменной, однако она имеет 4 точки ветвления а не две, как в комплексном случае.
|
Рис. 21. Функция
|
В каждом клине внешность и внутренность единичной гиперболической окружности отображается на весь клин. При этом обратная функция будет двузначной, ее риманова поверхность получится склеиванием двух копий двойной плоскости с разрезами вдоль лучей и (рис. 22).
|
Рис. 22. Риманова поверхность
|
След.: 8. Гиперболические спиноры Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 6. Компактификация