• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Подстрочные примечания к статье

... Кокарев¹

e-mail: vtrishin@mtu-net.ru

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...Лекции²

Материал лекций подготовлен на основе журнальных публикаций [1,2], выступлений на конференциях и школе 2009г.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... последователи³

Уже цитированный нами А. Пуанкаре считал иначе. Он полагал, что геометрия не вытекает из опыта, но ее выбор "подсказывается" им примерно так же, как выбор удобной системы координат диктуется постановкой той или иной конкретной задачи. При этом в принципиальном отношении выбор геометрии для описания того или иного опыта, так же как выбор системы координат, остается свободным. Обсуждение геометрического конвенционализма А. Пуанкаре в контексте физики привносит много новых и интересных соображений и далеко идущих обобщений, но эта тема выходит за рамки настоящих лекций.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... получить⁴

Попробуйте получить его самостоятельно! Подробный вывод и ответ можно найти, например, в [5].

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... плоскости⁵

Мы вернемся к освещению этого вопроса в лекциях.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... кривых⁶

Мы опускаем несущественный для дальнейшего числовой множитель перед интегралом.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... сюръективна⁷

Напомним, что сюръекция -- это отображение, при котором у каждого элемента в множестве образов есть прообраз.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... компонент⁸

Отметим, что в октантах, отличных от положительного би-проекцию следует определять по формулам:

$$A^\flat=\left\{\ln\left[\frac{A'_1}{\Vert A'\Vert}\right],\ln\lef... ...'_2}{\Vert A'\Vert}\right],\ln\left[\frac{A'_3}{\Vert A'\Vert}\right]\right\}.$$

где $A'=A/I_{(j)},$ $j$ -- номер октанта (см. раздел 2.1).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... направлений⁹

Для дальнейшего нам важна именно такая (несколько отличная от традиционной) запись формулы Коши.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... потенциально¹⁰

Напомним, что операция ротора, примененная к 2-мерному векторному полю на плоскости дает в результате (псевдо)скаляр.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... чисел¹¹

Строго говоря, наличие делителей нуля и возможность отрицательных значений выражения $h\bar h$ не позволяют говорить о норме двойного числа в строгом смысле этого слова. Для экономии терминов и сохранения частичной аналогии с комплексными числами мы будем называть величину $\sqrt{\vert h\bar h\vert}$ нормой или модулем двойного числа (см. далее формулы 98).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... суммы¹²

Мы используем символ $\sqcup$ для стандартной дизъюнктной суммы множеств, которая позволяет объединять множества совершенно различной природы, а при сложении множеств одной и той же природы или даже совпадающих множеств не учитывает возможного совпадения элементов в слагаемых.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Дифференцируемые¹³

Понятие производной функции $F(h,\bar h)$ по аргументам вводится аналогично определению вещественного анализа. Именно, мы определяем дифференцируемость функции $F$ в точке $(h,\bar h)$ как следующее свойство ее приращения: $\Delta F=A(h,\bar h) \Delta h+B(h,\bar h) \Delta\bar h+o(\Vert\Delta h\Vert _E),$ где $\Vert\Delta h\Vert _E\equiv[\Delta t^2+\Delta x^2]^{1/2}$ -- евклидова норма приращения переменной. Переходя к различным пределам при $\Vert\Delta h\Vert _E\to 0,$ получаем определения частных производных или "производных по направлениям". Имеется ряд серьезных проблем, связанных с определением сходимости и предела по естественной для двойных чисел гиперболической норме. В настоящей статье мы не останавливаемся на этих чисто математических вопросах и используем лишь те операции и свойства, которые имеют ясные, хотя, быть может, и несколько формальные определения.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... следуют¹⁴

Следует оговориться, что $\epsilon_F$ в общем случае является определенной константой внутри каждого из клиньев на плоскости образов, которая скачкообразно меняется при пересечении границ клиньев. По этой причине формулы (114) корректно определены на $\mathcal{H}$ с выколотым крестом делителей нуля.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... форм¹⁵

Мы не останавливаемся на определениях криволинейных интегралов от функций на плоскости двойной переменной, ввиду их сводимости к паре интегралов от 1-форм на декартовой плоскости, определение которых вполне стандартно.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... равенство¹⁶

Следует отметить некоторую неопределенность записи (116): деление под интегралом теряет смысл на пересечении $\Gamma\cap$Con$(h_0).$ Таким образом, строго говоря, мы должны исключить точки Con$(h_0)$ из области определения подынтегральной функции, а интеграл понимать как предел интеграла по несвязному контуру, разрывы которого сосредоточены в окрестности Con$(h_0)$ и их (евклидова) протяженность стремится к нулю. Полученные нами результаты соответствуют такому интегралу, понимаемому в смысле его главного значения. Для его существования контур должен подходить к линии конуса трансверсально. Мы не останавливаемся на этих чисто математических вопросах в настоящей статье и откладываем их более детальное изложение для отдельной публикации.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... цилиндра¹⁷

Здесь $D^3$ -- 3-мерный шар, $R_+=[0,\infty).$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... произведение¹⁸

Мы оставляем обычную точку $\cdot$ за операцией умножения в алгебре $\mathcal{H}_2.$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... известны¹⁹

Мы игнорируем трансляции. Их включение приводит к группам Пуанкаре $P_2$ и аффинно-унимодулярной группе SAff(2,R)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... соотношений²⁰

Теперь, строго говоря, следует различать единицу алгебры $1_H\in\mathcal{H}_2$ и вещественную единицу $1\in R.$ В скобках левых частей соотношений (141) стоят именно единицы алгебры $\mathcal{H}_2$ , а в правых частях стоят вещественные единицы из $R.$ В случаях, когда это не приводит к путанице, мы сохраняем обозначение $1$ за обеими единицами.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... соответственно²¹

Их следовало бы обозначить $\stackrel{\ast}{\star}$ и $\stackrel{\ast}{\times}$ , поскольку они определяются между элементами $\mathcal{H}_2^\ast,$ имеющими природу, отличную от $\mathcal{H}_2.$ Из контекста в дальнейшем всегда будет ясно, на каких элементах действуют эти операции и мы для избежания усложнения обозначений используем одни и те же символы.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.