- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
3. Элементы теории функций двойной
переменной (ТФДП).
3.1. Аналитические функции комплексной переменной
Целью настоящего раздела является напоминание основных фактов
стандартной теории функций комплексной переменной. Их
гиперболические аналоги будут лежать в основе последующих
рассмотрений на плоскости двойной переменной. Все доказательства
приводимых фактов можно найти в известных руководствах
(см., например, [16]).
Алгебра комплексных чисел
порождается парой
образующих
-модуля с таблицей умножения
Таким образом, элементы
имеют вид:
где
При этом
вещественное число
Re
называется вещественной частью комплексного числа
а вещественное число
Im
называется мнимой частью комплексного
числа
Алгебра комплексных чисел с правилом умножения,
определяемым таблицей (70), образует числовое поле,
подполем которого является поле вещественных чисел. Геометрическая
интерпретация комплексных чисел основана на очевидной биекции:
действующей по правилу:
Другими словами,
каждому комплексному числу
соответствует точка на декартовой
плоскости с координатами
ReIm
(см. рис.
13).
Рис. 13. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
-- его аргумент, определенный с точностью до Нетрудно проверить, что Знаменитая формула Эйлера: приводит к экспоненциальной форме представления комплексного числа где в последнем равенстве мы перешли к "комплексному углу" При этом произведение двух комплексных чисел сводится к сложению их комплексных углов. Важной и полезной операцией над комплексными числами является инволютивная операция комплексного сопряжения: Геометрически эта операция описывает отражение комплексной плоскости относительно оси Im Пару можно рассматривать как независимые комплексные координаты на плоскости, которые связаны с декартовыми координатами посредством очевидных формул Комплексная координатная билинейная форма раскладывается на симметричную и кососимметричную неприводимые компоненты следующим образом: где -- евклидова метрическая форма, -- 2-мерная симплектическая форма (евклидова форма площади). В частности, а евклидов элемент длины Из комплексного представления формы следует, что эта форма инвариантна относительно произвольных трансляций комплексной плоскости и преобразований вида: описывающих евклидовы вращения комплексной плоскости. В совокупности эти преобразования составляют группу движений 2-мерного евклидового пространства. Отметим, что форма инвариантна относительно более широкой группы унимодулярных преобразований комплексной плоскости, для которых якобиан преобразования равен единице. Евклидову длину кривой и (ориентированную) площадь области , ограниченной замкнутой кривой можно вычислить с помощью формул где в последнем равенстве мы использовали комплексный вариант фундаментальной теоремы Пуанкаре-Дарбу об интегрировании дифференциальных форм. Функция определенная соотношением (74), является простым и важным представителем класса т. н. голоморфных функций комплексной переменной. Напомним, что произвольное гладкое отображение : можно представить парой компонент где -- гладкие функции С помощью формул (75) эти отображения можно всегда записать в виде Для интерпретации как комплексной плоскости естественно ограничиться отображениями, сохраняющими комплексную структуру плоскости, т. е. отображениями вида: Дифференцируемые функции удовлетворяющие в некоторой области условию называются голоморфными в области функциями комплексной переменной Функции, удовлетворяющие условию называются антиголоморфными. Напомним некоторые основные свойства голоморфных функций. Расписывая условие (80) в декартовых координатах, приходим к условиям голоморфности (комплексной аналитичности) Коши-Римана: где Re Im Аналогичные формулы имеют место и для представления функции через комплексный угол :
(83) |
3.2. Двойные числа
3.2.1. Алгебра и обозначения
По аналогии с алгеброй комплексных чисел определим алгебру двойных чисел парой образующих 2-мерного -модуля с таблицей умножения: Элементы будем записывать в виде: где имея ввиду дальнейшие приложения этой алгебры для описания 2-мерного пространства-времени. По аналогии с комплексными числами, вещественное число Re называется вещественной частью двойного числа а вещественное число Im называется мнимой частью двойного числа Алгебра двойных чисел с таблицей умножения (95) не образует числового поля, поскольку содержит делители нуля, т. е. уравнение может выполняться при отличных от нуля элементах и Это обстоятельство послужило одной из причин, по которой двойные числа не получили столь широкого распространения в приложениях, как комплексные. Однако, именно это обстоятельство отражает на алгебраическом языке важнейший факт геометрии 2-мерного пространства-времени -- наличие световых конусов. Геометрическая интерпретация двойных чисел аналогична интерпретации комплексных чисел: на плоскости двойной переменной (коротко -- гиперболической плоскости) каждому двойному числу соответствует радиус-вектор, координаты которого суть вещественная и мнимая часть этого числа При этом сумма и разность двойных чисел изображается стандартным правилом параллелограмма для соответствующих радиус-векторов на гиперболической плоскости.3.2.2. Комплексное сопряжение и метрика
Инволютивную операцию комплексного сопряжения для двойных чисел определим следующим образом: Геометрически эта операция описывает отражение гиперболической плоскости относительно оси Im Аналогично комплексному случаю, пару можно рассматривать как независимые двойные координаты на гиперболической плоскости, которые связаны с декартовыми координатами посредством формул (75) с заменой Комплексная координатная билинейная форма снова раскладывается на симметричную и кососимметричную неприводимые компоненты следующим образом: где -- псевдоевклидова метрическая форма, -- 2-мерная форма объема. Мы видим, что алгебра двойных чисел индуцирует на плоскости двойной переменной 2-мерную пседоевклидову (гиперболическую) геометрию с метрической формой , что объясняет принятый нами термин "гиперболическая плоскость".
3.2.3. Полярные координаты, тригонометрическое
и экспоненциальное представление
Переход к гиперболическим полярным координатам и экспоненциальной
форме представления двойного числа имеет ряд особенностей, которых
нет в случае комплексных чисел. Пара прямых
содержащих
множество двойных чисел11 с нулевым
квадратом нормы, разбивает всю гиперболическую плоскость на четыре
клиновидные области, обозначенные на рисунке цифрами I, II, III и
IV (рис. 14).
Непосредственной проверкой можно убедиться, что в каждой из
отмеченных областей двойные числа допускают гиперболическое
тригонометрическое представление вида:
Рис. 15 К определению конусов и подконусов точки ConConConConConConCon
проверяется разложением левых и правых частей в формальные ряды Маклорена и сравнением их вещественных и мнимых частей. Гиперболическая формула Эйлера приводит к экспоненциальной форме представления двойных чисел: где в последнем равенстве мы перешли к "комплексному гиперболическому углу" При этом произведение пары двойных чисел сводится к сложению их комплексных углов и перемножению знаковых множителей . Формулы для вычисления длин кривых и площадей областей на повторяют формулы (77) с заменой
Пример. Вычислим длину дуги евклидовой окружности евклидова
радиуса
с центром в нуле, заключенную между точками
и
на
плоскости двойной переменной. Подставляя в евклидово уравнение
окружности
полярные гиперболические координаты:
получаем гиперболическое
полярное уравнение евклидовой окружности:
С помощью подстановки: интеграл сводится к более простому виду и выражается через полные эллиптические интегралы 1-ого и 2-ого родов:
3.3.
-голоморфные функции двойной переменной
Функция
определенная по формуле (101), является
простым и важным представителем класса т. н.
-голоморфных
функций двойной переменной, к определению которых можно прийти из
соображений, аналогичных определению аналитической функции
комплексной переменной. Произвольное гладкое отображение
:
можно представлять парой вещественных компонент
(78), а можно перейти к его представлению через пару
двойных переменных
:
Теперь для интерпретации
как плоскости двойной переменной
естественно ограничиться отображениями, сохраняющими
гиперболическую комплексную структуру плоскости, т. е.
отображениями
вида:
Дифференцируемые13 функции
удолетворяющие условию:
будем называть
-голоморфными функциями двойной переменной
Функции, удовлетворяющие условию:
будем называть
-антиголоморфными функциями двойной переменной.
По аналогии с голоморфными функциями комплексной переменной голоморфные функции двойной
переменной можно определять формальными степенными рядами, сходимость
которых часто вытекает из сходимости соответствующих вещественных
рядов.
Пример. Элементарная проверка путем разложения в формальный ряд обнаруживает
справедливость следующих тождеств:
где -- синус (эллиптический или гиперболический), -- косинус (эллиптический или гиперболический) в левых и правых частях равенств соответственно, которые мы определяем их стандартными рядами. На самом деле, приведенные выше равенства являются частными случаями более общего тождества:
где -- симметричная и антисимметричная части произвольной аналитической функции Докажем, что голоморфная функция всегда отображает делители нуля в делители нуля. Доказательство опирается на следующее формальное тождество: Для натуральных тождество непосредственно вытекает из более простого: Для произвольных воспользуемся формальными разложениями в ряды Маклорена. С одной стороны С другой
Умножая этот ряд почленно на получаем:
Комбинируя в разложении (111) все последовательные пары четных слагаемых (содержащих ), получаем все последовательные четные слагаемые ряда (109), а комбинируя в (111) все последовательные пары нечетных слагаемых (начиная с пары "третье-пятое"), получаем все последовательные нечетные слагаемые ряда (109) (начиная с третьего). Таким образом, формальные ряды левой и правой части (108) совпадают, что и требовалось доказать. Задавая теперь голоморфную функцию в виде степенного ряда: в силу тождества (108) будем иметь на конусе Con произвольной точки :
что и требовалось доказать. При этом, как это видно из полученного выражения, голоморфная функция может осуществлять инверсию конуса (т.е. переводить компоненты Con в соответствующую компоненты Con и наоборот), но не может переводить его ветви Con и Con друг в друга.
3.4. Гиперболические условия Коши-Римана
Распишем условие (105) в декартовых координатах:
откуда следуют условия гиперболической аналитичности Коши-Римана: Если функция -голоморфна в смысле данного выше определения, то -голоморфна и функция Отсюда следуют14 условия Коши-Римана в терминах модуля и аргумента функции двойной переменной: Легко проверить, что из условий (113) следует гиперболическая гармоничность вещественной и мнимой частей аналитической функции которая выражается уравнениями: где -- 2-мерный волновой оператор -- даламбертиан ("гиперболический лапласиан").
3.5. Гиперболические аналоги теоремы Коши
3.5.1. Теорема Коши
Доказательство гиперболической теоремы Коши является почти дословным повторением соответствующего доказательства формулы (84). Чтобы подчеркнуть независимость этого доказательства от метрических свойств двойной (или комплексной) плоскости, проведем его на языке дифференциальных форм15. Для всякого простого замкнутого контура ограничивающего область и аналитической функции двойной переменной имеем следующую цепочку равенств:
в силу условий (113). Второй знак равенства выражает теорему Пуанкаре-Дарбу об интегрировании 1-форм по замкнутым путям. С использованием комплексного языка доказательство выглядит еще короче:
ввиду (105). В силу чисто топологических соображений, аналогичных соображениям на комплексной плоскости, интеграл от голоморфной функции будет обращаться в нуль и по границе многосвязной области.
3.5.2. Интегральная формула Коши
Для интеграла Коши в его гиперболической версии теперь имеем равенство16: вытекающее из гиперболической теоремы Коши. Здесь -- (евклидова) окружность радиуса с центром в точке причем интеграл не зависит от радиуса этой окружности (см. рис. 16). Сделаем замену переменной: где функция является полярно-параметрическим заданием евклидовой окружности в терминах гиперболической полярной системы координат. Как это следует из разобранного в разделе 3 примера, При этом нам потребуется лишь только однозначность функции Переходя к интегрированию по получаем: а сам интеграл Коши принимает вид:
Используя независимость интеграла от и переходя в нем к пределу при получаем:
Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу однозначности функции Таким образом, приходим к следующей формуле гиперболической версии интегральной формулы Коши:
В обычном смысле интеграл, полученный справа, расходится. Однако ему можно придать смысл, вводя формальную величину размера гиперболического пространства направлений по формуле: С учетом ориентации кусков в (см. рис. 14), получаем:
Таким образом, гиперболическая формула Коши в некотором (несобственном) смысле имеет вид более простой, чем в комплексном случае:
Более содержательный аналог стандартной формулы Коши получится,
если рассматривать замкнутый контур
вида,
представленного на рисунке 17. Этот контур состоит из
двух дуг произвольных кусочно-гладких простых кривых, лежащих в
областях
и опирающихся своими концами на
компоненты конуса
Con
отрезков этого конуса, и
пары двух дуг евклидовой окружности радиуса
с центром в
опирающихся на компоненты конуса
Con
Интеграл типа
Коши по контуру
равен нулю в том же обобщенном смысле,
что и (118), ввиду того, что контур
является
гомотопией исходного контура
в области голоморфности
функции
Теперь имеем
Пример. В качестве примера проиллюстрируем работу формулы Коши в виде (123) при
путем явного вычисления интеграла по контуру
Имеем
В предпоследнем равенстве было учтено сокращение двух одинаковы логарифмически сингулярных членов, а в последнем учтено "свойство бесконечности" фундаментальной константы Таким образом, вклад в интеграл Коши дает только участок контура между компонентами конуса Con . Переходя к полярной системе координат с центром в точке получаем:
Интеграл от первого слагаемого дает нуль в силу того, что на концах контура Интегрируя второе слагаемое с учетом (117), приходим к результату что и утверждает гиперболическая формула Коши.
3.5.3. Интегралы от степени
Рассмотрим теперь вопрос о возможности вычисления коэффициентов ряда Тейлора -голоморфной функции с помощью формулы, аналогичной (87). По существу, этот вопрос сводится к выяснению возможности обобщения тождества (88) на гиперболический случай. Рассмотрим интеграл вида: Продеформируем контур таким образом, чтобы он принял вид , показанный на рисунке 19 (значение интеграла при этом, очевидно, не изменится). Раскладывая интеграл на слагаемые, соответствующие различным участкам контура ConCon получим для вкладов по конусам (обозначения аналогичны использованным в предыдущем примере, причем ):
Используя тождество (108) и приводя подобные слагаемые, получаем следующий результат: Интеграл по прямолинейному отрезку вычисляется также легко: Сравнивая (126) и (127), приходим к выводу, что
Для интеграла по дуге окружности имеем с учетом параметризации (98) представление:
Полагая (для нас не важен конкретный вид важно лишь, что эта функция зависит только от но не зависит от ), приходим к выражению:
и в целом: где -- некоторые функции, зависящие только от В силу гомотопности контуров с различными выражение (128) не должно зависеть от Это возможно только при условии при Учитывая предыдущий результат при можно написать следующую окончательную формулу: Полученный результат обобщает формулы (88) и (87), поскольку интеграл от степени в гиперболическом случае обращается в нуль для всех вещественных а не только для целых. Это обстоятельство может послужить мотивом для поиска фундаментальных континуальных разложений -голоморфных функций, отличных от разложения в классические ряды Тейлора (или Лорана).
3.6. Гиперболические конформно-аналитические отображения
Введенная выше билинейная форма ведет себя относительно -голоморфного преобразования как относительный скаляр: где откуда следуют законы преобразования элементов гиперболической длины и площади: Аналогично комплексному случаю, относительная скалярность формы площади имеет место при всяких диффеоморфизмах, а первое равенство в (131) означает, что -голоморфные функции осуществляют конформные преобразования гиперболической плоскости, т. е. сохраняют гиперболические углы между кривыми в каждой точке. Это обстоятельство тесно связано с установленным выше фактом об инвариантности конусов Con относительно -голоморфных отображений. Отметим, что где -- оператор градиента в псевдоевклидовой метрике, а -- якобиан отображения рассматриваемого как отображение Аналогично комплексному случаю, каждый диффеоморфизм : можно интерпретировать как гладкое векторное поле. Векторные поля, соответствующие -голоморфным функциям двойной переменной, обладают рядом интересных и важных для приложений свойств. Из условий (113) следует, что каждая из компонент векторного поля является гиперболической -гармонической функцией, т. е. удовлетворяет 2-мерному волновому уравнению (115). -гармонические функции, связанные друг с другом условиями Коши-Римана (113), будем называть -сопряженными. Любая -гармоническая на декартовой плоскости функция определяет (с точностью до постоянной) свою гиперболически сопряженную. Гиперболическим условиям Коши-Римана (113) на языке векторного анализа на псевдоевклидовой плоскости можно придать следующий геометрический смысл: векторное поле h-потенциально и h-соленоидально, т.е. компоненты векторного поля удовлетворяют соотношениям: Физический смысл этих условий и соответствующие начально-краевые задачи, которые естественно решать с помощью гиперболических конформных преобразований, мы обсудим далее в отдельном разделе. Отметим здесь, что семейство поверхностей const и const определяет на декартовой плоскости псевдоортогональные семейства линий, для которых всюду в силу условий (113).
3.7. Свойства некоторых элементарных функций двойной переменной
Рассмотрим подробнее свойства основных элементарных функций
двойной переменной.
3.7.1. Степенные функции
В отличие от степенной функции комплексной переменной случаи четных и нечетных кардинально отличаются. Действительно, переходя к экспоненциальному представлению (100), получаем: Поскольку для любого четного можно заключить, что степенная функция при биективно отображает каждый из клиньев II, III, IV на клин I с отображением конусов ConCon Напротив, при нечетном каждый из координатных клиньев при отображении биективно отображается в себя. При этом, как нетрудно видеть из (133) координатная сетка линий const const переходит в координатную сетку линий const const для всяких целых В случае положительных целых радиальные линии растягиваются при и сжимаются при кроме того, они поворачиваются от значения в сторону соответствующих им по знаку компонент конусов. Для целых отрицательных дополнительно происходит еще инверсия относительно единичных сфер и инверсия пространства углов В качестве примера функции с четным рассмотрим функцию
На рис.
20 представлена глобальная структура отображения
: клин 1-2 переходит сам в себя (его границы -- в соответствующие границы), а
отображения остальных клиньев в клин 1-2 показано соответствующими цифрами (цифры со штрихами, помечающими клин,
показывают как именно соответствующий клин отображается в клин 1-2).
Таким образом, отображение
является
4-листным. Аналогичным образом устроено отображение:
Наглядное представление некоторых простых степенных отображений
представлено на рис. 21-22.
Из свойств степенных функций легко вывести свойства корней различных порядков и рациональных степеней: Любой корень четного порядка определен в квадранте I. Такой корень будет 4-значной функцией. Каждый лист гиперболической римановой поверхности этой функции представляет собой идентичную копию клина I, показанного на рис. 20. На каждом из листов функция однозначна. Все листы склеиваются в риманову поверхность, представляющую собой при этом точка принадлежит всем листам и является гиперболическим аналогом точки ветвления. Наглядно риманову поверхность корня четного порядка можно реализовать листом бумаги, сложенным вчетверо так, как показано на рис. 23. Корни нечетной степени -- однозначны в каждом из 4 клиньев.
3.7.2. Экспонента двойной переменной
Записывая
приходим к глобальной структуре
экспоненциального отображения, представленной на рис. 24.
Прямоугольная псевдоортогональная сетка на плоскости переменной отображается экспонентой в псевдоортогональную сетку, состоящую из лучей и гипербол в первом клине с вершиной в точке . Отображение -- биективно. Очевидно, что обратная функция определена во внутренности первого клина. На границах (т. е. на конусе Con ) полярная система координат не работает и требуется дополнительное исследование поведения отображения на котором мы здесь не останавливаемся.
3.7.3. Тригонометрические функции и обратные
Расписывая синус двойной переменной: замечаем, что линии const и const отображаются в семейства эллипсов с центром в точке Эти линии наматываются на соответствующие эллипсы бесконечное число раз. На рис. 25 (справа) показаны образы квадратов с различными сторонами с центром в точке (слева).Каждый квадрат переходит в четырех-лучевую звездообразную фигуру, причем квадрат со стороной отображается в окружность, а квадрат со стороной отображается в координатный крест с вершинами с точках Из рисунка видно, что функция отображает внутренность квадратов со стороной, не превышающей во внутренность звезд. Начиная с квадратов со стороной большей однолистность функции нарушается.
Вещественная и мнимая часть первого выражения представлена на рис. 27.
3.7.4. Тригонометрические функции и обратные
Выделяя в функции вещественную и мнимую часть после элементарных преобразований получаем:
Эта функция отображает квадрат с центром в точке и стороной в область, ограниченную гиперболами, а прямоугольную сетку в исходном квадрате -- в симметричную гиперболическую сетку внутри области (рис. 28).
Графики вещественной и мнимой части этого отображения представлены на рис. 30.
3.7.5. Гиперболические функции и обратные к ним
Выделяя по аналогии с эллиптическим синусом в функции вещественную и мнимую часть, приходим к выражению:
Наглядный 3-мерный вид этого отображения представлен на рис. 31.
Нетрудно видеть, что прямоугольная координатная сетка отображается в гиперболическую сетку на плоскости образов (рис. 32).
Отображение -- взаимно-однозначно, поэтому обратное отображение Arsinh определено на всей двойной плоскости. Его явный координатный вид дается формулой:
а вид вещественной и мнимой части этого отображения представлен на рис. 33.
Ввиду двулистности гиперболического косинуса отображение
устроено иначе. Его наглядный 3-мерный вид представлен на рис. 34
Первый клин с вершиной в нуле отображение биективно отображает в первый клин с вершиной в точке При этом декартова сетка переходит в сетку ортогональных гипербол. В этот же клин переходят и остальные клинья с вершиной в точке 0 (рис. 35).
В целом глобальная структура отображения иллюстрируется рисунком 20, в котором заштрихованный клин сдвинут на единицу вправо. Таким образом, гиперболический косинус -- 4-листная функция, а гиперболический арккосинус -- 4-значная с римановой поверхностью, представленной на рис. 23. его явное координатное представление дается формулой:
а наглядный вид представлен на рис. 36.
отображает двойную плоскость на внутренность гиперболической окружности близкую к изображенной на рис. 37 (справа). Наклонные "острия" продолжаются неограниченно.
Наглядный 3-мерный вид гиперболического тангенса представлен на рис. 38.
Гиперболический тангенс -- функция однолистная, поэтому обратная функция Arctanh однозначна на области определения. Ее выражение в координатах дается формулой:
а наглядный вид представлен на рис. 39.
Функция
является в определенном смысле дополнительной к функции : она отображает всю плоскость на внешность гиперболической окружности близкую к внешности области, изображенной на рис. 37 (справа).
Функция -- однолистная и обратная к ней функция Arccoth -- однозначная в своей области определения. Ее выражение в координатах дается формулой:
а наглядный вид представлен на рис. 41.
3.7.6. Дробнолинейное преобразование:
Определим дробно-линейную функцию соотношением: где -- произвольные двойные числа, удовлетворяющие условию Будем называть дробно-линейное преобразование (135) неособым, если Con и Con В дальнейшем будем рассматривать только неособые дробнолинейные преобразования. Особенностью определения (135) (даже в рассматриваемом нами случае неособого дробно-линейного преобразования) является наличие конуса Con на котором это определение теряет смысл. Далее мы будем исключать из области определения функции (135) линию конуса Con Имеют место следующие утверждения:- Неособая дробно-линейная функция в своей области определения осуществляет взаимно-однозначное и непрерывное отображение Con на которое является конформным. Обратная функция также является дробно-линейной и имеет вид:
- Композиция дробно-линейных отображений является дробно-линейным отображением. При этом совокупность всех дробно-линейных преобразований образует группу, изоморфную SL Отметим, что неособые дробно-линейные преобразования подгруппы не образуют.
- Дробно-линейная функция отображает гиперболическую окружность HS с уравнением в гиперболическую окружность.
- Вводя определение точек и сопряженных относительно окружности HS аналогичное определению на комплексной плоскости (сопряженные точки лежат на одном луче, исходящем из центра -- одна внутри, другая снаружи окружности и их гиперболические расстояния до окружности удовлетворяют соотношению: ), можно сформулировать еще одно геометрическое свойство дробно-линейных отображений: точки, сопряженные относительно HS переходят в точки сопряженные относительно окружности HS
Наглядный вид рассмотренного отображения представлен на рис. 44.
Рассмотрим, наконец, гиперболическую версию функции Жуковского:
Эта функция отображает единичную гиперболическую окружность HS в куски координатных осей, двукратно накрывая их (см. рис. 45). При этом, как и в случае комплексной переменной, функция Жуковского двулистна: как внешность единичной окружности, так и ее внутренность она отображает на всю двойную плоскость. В точках конформность функции нарушается, поскольку в этих точках Наглядный вид гиперболической функции Жуковского представлен на рис. 46.
Риманова поверхность двузначной функции
представлена на
рис. 47.
3.8. Решение плоских начально-краевых задач 2-мерной теории поля
По аналогии с приложениями конформных преобразований на стандартной (эллиптической) комплексной плоскости, -аналитические функции могут использоваться для решения задач теории поля, связанных с 2-мерным волновым уравнением: Непопулярность гиперболических конформных преобразований связана, в первую очередь, с нетрадиционностью постановки начально-краевых задач, которые решаются методом гиперболических конформных преобразований. Действительно, применение конформных преобразований на плоскости комплексной переменной для решения задач эллиптического типа, связанных с уравнением Лапласа, опирается на отмечавшееся выше обстоятельство: аналитическая функция вещественная часть которой представляет решение некоторой краевой задачи, отображает границу области вне источников поля на прямую Reconst Это требование отражает условие постоянства потенциала на границе области, в которой решается уравнение Лапласа и обеспечивает единственность решения с точностью до произвольного выбора значения потенциала на границе. В начально-краевых задачах гиперболического типа используется другая постановка задачи: рассматривается пространственно-временная область в виде полуограниченного цилиндра17 (или топологически эквивалентная ей) и задаются начальные условия на начальной поверхности (начальные значения для поля и его производных по времени) и граничные условия на боковой поверхности (значения поля и его пространственных производных). Если задача поставлена корректно, то эти начально-краевые данные определяют единственное решение с хорошими свойствами во все моменты времени В 2-мерном пространстве времени граница области представляет собой времениподобный прямоугольник или топологически эквивалентную ему фигуру Использование конформных преобразований, осуществляемых -аналитическими функциями, предполагает перенос постановки эллиптической задачи на плоскости на гиперболические задачи на плоскости. Другими словами, -аналитическая функция представляет решение некоторой начально-краевой задачи гиперболического типа, а именно той, для которой эта функция переводит 1-мерную границу области вне источников в линию Reconst Очевидно, такая постановка задачи отличается от стандартной, поскольку начально-краевые условия заменяются на задание формы поверхности (линии) постоянного поля (потенциала). Эта поверхность имеет пространственно-временной характер. В принципиальном отношении она может быть получена с помощью измерений волнового поля в разных точках пространства в разные моменты времени с помощью надлежащего (достаточно большого) числа приборов. Точки-события пространства-времени, для которых показания приборов дают const и образуют искомую поверхность. Согласно проведенным выше рассмотрениям, форма этой поверхность однозначно определяет решение волнового уравнения. Однако такая постановка задачи обычно не используется на практике, поскольку данные "размазаны" в пространстве и времени. В качестве примера рассмотрим задачу об определении волнового поля, которое на гиперболической окружности принимает постоянное значение В соответствии с результатами раздела 3.7, подходящее решение имеет вид: Re Его 3-мерный график и последовательные временные сечения представлены на рисунке 48.Далее: 4. 2-мерная СТО в Вверх: Лекции по финслеровой геометрии Previous: 2. Полиуглы в пространствах