вход

Оглавление


4.  2-мерная СТО в формулировке двойной переменной

Целью настоящего раздела является изложение положений и фактов 2-мерной СТО в терминах алгебры двойных чисел.

4.1.  2-мерное пространство-время и векторные операции в нем

Будем отождествлять элементы $ \mathcal{H}_2$ с точками-событиями 2-мерного пространства-времени Минковского $ \mathcal{M}_2.$ Таким образом, с каждым элементом $ h\in\mathcal{H}_2$ мы ассоциируем 2-мерный радиус-вектор $ h=t+jx.$ Элементы $ \mathcal{H}_2$ как элементы алгебры образуют 2-мерное вещественное линейное пространство. Рассмотрим пару элементов $ h_1=t_1+jx_1$ и $ h_2=t_2+jx_2$ и комплексно-значную полуторалинейную форму на них:

$\displaystyle h_1\bar h_2=t_1t_2-x_1x_2+j(t_2x_1-t_1x_2).$ (137)
Очевидно, что такая форма, с одной стороны, полностью определяется средствами алгебры $ \mathcal{H}_2,$ с другой определяет вещественные симметричное $ h_1\star h_2$ и антисимметричное (косое) $ h_1\times h_2$ скалярные произведения по формулам:

$\displaystyle h_1\star h_2\equiv$Re$\displaystyle (h_1\bar h_2);\quad h_1\times h_2\equiv-$Im$\displaystyle (h_1\bar h_2).$ (138)
Симметричное произведение18является 2-мерным вариантом псевдоевклидовой метрики Минковского, а антисимметричное -- 2-мерным вариантом векторного произведения, которое теперь является (псевдо)скаляром и отвечает за геометрию ориентированных объемов (т. е. площадей) пространства $ \mathcal{M}_2.$

4.2.  Алгебра изометрий

Группы изометрий Iso$ ^\star$ и Iso$ ^\times$ билинейных форм (138) хорошо известны19: первая представляет собой 2-мерную группу Лоренца Lor$ _2,$ вторая -- группу унимодулярных преобразований SL(2,R). Рассмотрим произвольный (невырожденный) внутренний автоморфизм алгебры $ \mathcal{H}_2,$ порождаемый умножениями $ h\mapsto h'=\alpha\cdot
h,$ где $ \alpha=\alpha_1+j\alpha_2\in\mathcal{H}_2$ и запишем его в матричном виде:

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} t' x' \end{array}\right)= \left(\begin{a...
...ha_2&\alpha_1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} t x\end{array}\right).$ (139)
Далее непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формул:

$\displaystyle (\alpha h_1)\star(\alpha h_2)=(\alpha_1^2-\alpha_2^2)h_1\star
h_2;\quad (\alpha h_1)\times(\alpha
h_2)=(\alpha_1^2-\alpha_2^2)h_1\times h_2.
$

Отсюда с учетом (139) следует важное равенство:

   Aut$\displaystyle ^{\text{int}}(\mathcal{H}_2)\supset\text{Iso}^\star=\text{Iso}^\times\cap\text{Aut}^{\text{int}}(\mathcal{H}_2),
$

где Aut$ ^{\text{int}}(\mathcal{H}_2)$ -- группа внутренних автоморфизмов алгебры $ \mathcal{H}_2,$ порожденная умножениями на невырожденные элементы. Отметим, что наличие метрики, ассоциированной с косым произведением, позволяет интерпретировать элементы $ \mathcal{H}_2$ как вещественные спиноры. Матрица преобразования в (139), описывающая внутренние автоморфизмы умножений алгебры $ \mathcal{H}_2$ , обладает свойством симметрии при ее транспонировании как относительно главной, так и относительно побочной диагонали. Назовем такую матрицу абсолютно симметричной. Из тривиального равенства $ \alpha_1\cdot\alpha_2=\alpha_3\in\mathcal{H}_2,$ выражающего алгебраическую замкнутость $ \mathcal{H}_2,$ следует, что абсолютно симметричные матрицы образуют группу относительно матричного умножения. Эта группа представляет собой прямое произведение $ R\times$Lor$ _2$ и, помимо преобразований Лоренца, включает в себя однородные дилатации: $ h\mapsto \lambda
h,$ $ \lambda\in R.$ В дальнейшем для краткости мы будем обозначать эту группу C$ _2$ и называть ее однородной конформной группой на $ \mathcal{H}_2$ . Очевидно, что инвариантными геометрическими объектами для этой группы будут конуса Con$ (h),$ $ h\in\mathcal{H}_2.$ Рассмотрим теперь дискретные преобразования $ \mathcal{H}_2$ : $ h=t+jx\mapsto\sigma_ih$ следующих независимых типов:

$\displaystyle \sigma_th\equiv-t+jx;\quad \sigma_xh\equiv t-jx;\quad \sigma_I\equiv x+jt.$ (140)
Очевидно, что на алгебраическом языке эти операции записываются следующим образом:

$\displaystyle \sigma_xh=\bar h;\quad \sigma_th=-\bar h;\quad \sigma_I=j\cdot h,
$

откуда видно, что лишь операция $ \sigma_I$ допускает представление (139).

4.3.  Коалгебра $ \mathcal {H}_2^\ast $

Рассмотрим алгебру $ \mathcal{H}_2^\ast,$ двойственную к $ \mathcal{H}_2,$ элементами которой служат линейные функционалы (1-формы, ковекторы) над $ \mathcal{H}_2.$ Введем обозначение $ \omega(h)$ для значения 1-формы $ \omega\in\mathcal{H}_2^\ast$ на элементе $ h\in\mathcal{H}_2$ (это вещественное число). Выбирая базис $ \{1_\ast,j_\ast\}$ в алгебре $ \mathcal {H}_2^\ast $ дуальным к базису $ \{1,j\}$ в $ \mathcal{H}_2,$ будем иметь систему соотношений20:

$\displaystyle 1_\ast(1)=1;\quad 1_\ast(j)=0;\quad j_\ast(1)=0;\quad j_\ast(j)=1.$ (141)
Тогда значение произвольной 1-формы $ \omega=T 1_\ast+X j_\ast$ на элементе $ h=t+jx$ будет равно:

$\displaystyle \omega(h)=T t+X x.$ (142)
Имея в распоряжении две невырожденные метрики, ассоциированные с операциями $ \star$ и $ \times,$ можно ввести два отображения сопряжения $ \mathcal{H}_2\to\mathcal{H}_2^\ast$ по формулам:

$\displaystyle h\mapsto h^\star\in\mathcal{H}_2^\ast: h^\star(q)\equiv h\star q;$   и$\displaystyle \quad h\mapsto h^\times\in\mathcal{H}_2^\ast: h^\times(q)\equiv h\times q.$ (143)
Будем называть первое сопряжение векторным, а второе -- спинорным. В компонентах с учетом (141) и (143) для произвольного $ h=t+jx$ будем иметь:

Re$\displaystyle (h^\star)=t;$   Im$\displaystyle (h^\star)=-x;$   Re$\displaystyle (h^\times)=-x;$   Im$\displaystyle (h^\star)=t.$ (144)
Формулы (144) соответствуют известным правилам "жонглирования индексами" с помощью псевдоевклидовой и спинорной метрик в индексном изложении и устанавливают известные изоморфизмы линейных метризованных пространств с невырожденными метриками. Коалгебра $ \mathcal {H}_2^\ast $ так же как и $ \mathcal{H}_2$ индуцирует пару операций скалярного произведения: $ {\star}$ и $ {\times}$ соответственно21по правилам:

$\displaystyle \omega_1{\star} \omega_2\equiv$Re$\displaystyle (\omega_1\bar \omega_2);\quad \omega_1{\times}\omega_2\equiv-$Im$\displaystyle (\omega_1\bar \omega_2),$ (145)
которые мы будем называть коскалярным и кокосым или коспинорным. Алгебры $ \mathcal{H}_2$ или $ \mathcal {H}_2^\ast $ взаимно сопряжены, т.е. $ (\mathcal{H}_2^\ast)^\ast=\mathcal{H}_2.$ Это означает, что элементы $ \mathcal{H}_2$ можно интерпретировать как 1-формы по отношению к элементам $ \mathcal{H}_2^\ast.$ Элементарно проверяются следующие тождества:

$\displaystyle h_1^\star{\star}h_2^\star=h_1\star h_2;\quad h_1^\times{\times}h_...
...h_2^\times=-h_1\star
h_2;\quad h_1^\star{\times}h_2^\star=-h_1\times
h_2;\quad
$

$\displaystyle h_1^\star{\star}h_2^\times=-h_1\times h_2;\quad
h_1^\star{\times}...
...\times}h_2^\star=-h_1\star
h_2;\quad h_1^\times{\star}h_2^\star=h_1\times
h_2.
$

Символически эти правила записываются короче, если определить таблицы сопряжений с помощью пары элементов $ \{(\star),(\times)\}$ над парой операций $ \{\star,\times\}$ :

$\displaystyle \star:\quad \begin{tabular}{c\vert c\vert c} $2\setminus 1$&$(\st...
...line $(\star)$& $-\times$&$ -\star$ $(\times)$&$\star$&$\times$ \end{tabular}$ (146)

4.4.  Системы отсчета на $ \mathcal {M}_2$

С позиций стандартной СТО элементы введенной коалгебры $ \mathcal {H}_2^\ast $ представляют собой различные системы отсчета. Более точно, определим класс $ \mathcal{IR}$ инерциальных систем отсчета на $ \mathcal {M}_2$ как совокупность элементов проективной подкоалгебры $ P\mathcal{H}_2^\ast.$ Ее элементы, в свою очередь, можно интерпретировать как точки на единичной гиперболической окружности $ \vert\omega\bar
\omega\vert=1$ на $ \mathcal{H}_2^\ast.$ При этом эта окружность на $ \mathcal {H}_2^\ast $ имеет 4 несвязные компоненты: на двух из них $ \omega\bar\omega=+1,$ а на двух других $ \omega\bar\omega=-1.$ Будем называть подкласс систем отсчета из первых двух компонент причинным (ему соответствуют системы отсчета с досветовыми скоростями) и обозначать его $ \mathcal{IR}_+,$ а класс систем отсчета из вторых двух компонент апричинным (ему соответствуют системы отсчета со сверхсветовыми скоростями) и обозначать его $ \mathcal{IR}_-.$ Внутри каждого из названных подклассов выделяются еще по две связные компоненты: в положительных и отрицательных полуплоскостях Im$ \omega\gtrless0$ для $ \mathcal{IR}_+$ и Re$ \omega\gtrless0$ для $ \mathcal{IR}_-.$ Мы будем обозначать их соответственно $ \mathcal{IR}^\uparrow$ и $ \mathcal{IR}^\downarrow$ и называть положительными и отрицательными компонентами. Таким образом, полный класс $ \mathcal{IR}$ всех инерциальных систем отсчета допускает следующее разбиение:

$\displaystyle \mathcal{IR}=\mathcal{IR}_+^\uparrow\bigcup\mathcal{IR}_+^\downarrow\bigcup\mathcal{IR}_-^\uparrow\bigcup\mathcal{IR}_-^\downarrow.$ (147)
Нетрудно убедиться, что компоненты разбиения получаются из класса $ \mathcal{IR}_+^\uparrow$ положительных причинных систем отсчета с помощью дискретных операций (140):

$\displaystyle \mathcal{IR}_+^\downarrow=\sigma_t \mathcal{IR}_+^\uparrow;\quad ...
...parrow\quad \mathcal{IR}_-^\downarrow=\sigma_x\sigma_I \mathcal{IR}_+^\uparrow.$ (148)
Следует отметить, что ввиду формального равноправия всех координатных клиньев на плоскости $ \mathcal{H}_2$ или $ \mathcal {H}_2^\ast $ разбиение (148) на 2-мерном пространстве-времени выглядит в значительной степени условным. Рассмотрим теперь "нормальную" систему отсчета, т.е. взятую из компоненты $ \mathcal{IR}_+^\uparrow.$ Ей соответствует некоторый элемент $ \tau\in\mathcal{H}_2^\ast,$ который в выбранном нами базисе имеет вид: $ \tau=T 1_\ast+X j_\ast,$ причем его компоненты $ T$ и $ X$ удовлетворяют условиям:

$\displaystyle T>0;\quad T^2-X^2=1.$ (149)
Первое условие выражает факт положительной ориентации отсчета времени, второе -- факт его универсального (постоянного) "единичного темпа". Формально последнее связано с единичной нормировкой ковектора $ \tau.$ Условия (149) автоматически удовлетворяются параметризацией:

$\displaystyle T=\cosh\psi;\quad X=\sinh\psi,$ (150)
где параметр $ \psi$ имеет геометрический смысл гиперболического угла в гиперболической полярной системе координат и физический смысл известного параметра быстроты ( $ \tanh\psi=v,$ $ v$ -- пространственная скорость системы отсчета). В компонентах (в параметризации скорости $ v$ ) 1-форма $ \tau$ принимает вид:

$\displaystyle \tau=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}1_\ast-\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}j_\ast$ (151)
Теперь, для заданной системы отсчета $ \tau\in\mathcal{H}_2^\ast$ и для любого элемента-события $ h\in\mathcal{H}_2$ мы можем определить его временную компоненту $ h_T^u$ по отношению к системе отсчета $ \tau$ с помощью простой формулы:

$\displaystyle h_T^\tau\equiv \tau(h).$ (152)
Для произвольного $ h=t+jx$ с помощью формул (142), (150) и (151) определение (152) дает временную часть преобразований Лоренца:

$\displaystyle h_T^\tau\equiv \frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}}.
$

Для вектора $ \Delta h=\Delta t+j\cdot0,$ характеризующего временной интервал в системе покоя некоторых часов, получаем формулу релятивистского растяжения промежутков времени:

$\displaystyle h_T^\tau(\Delta h)=\Delta t'=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2}}.
$

Чтобы перейти к определению пространственных проекций событий, необходимо определить единичную 1-форму $ s$ из компоненты $ \mathcal{IR}_-^\uparrow,$ ортогональную $ \tau,$ т. е. удовлетворяющую соотношению: $ s\star \tau=0.$ С помощью формул (145) и (151) нетрудно найти ее координатный вид:

$\displaystyle s=-\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}1_\ast+\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}j_\ast.$ (153)
Теперь для пространственной проекции произвольного события $ h\in\mathcal{H}_2$ по отношению к системе отсчета $ \tau$ с помощью формул (142), (153) мы можем дать следующее определение:

$\displaystyle h_X^\tau\equiv s(h)=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}},$ (154)
что дает по существу пространственную часть преобразований Лоренца. Рассмотрим тождественный линейный оператор $ \hat I\equiv
1\otimes1_\ast+j\otimes j_\ast.$ Непосредственной проверкой с помощью формул (151) и (153) можно убедиться в справедливости следующего разложения этого оператора:

$\displaystyle \hat I=\tau^\star\otimes \tau-s^\star\otimes s.$ (155)
Действуя этим оператором на векторы-события или 1-формы получаем их разложение на пространственные и временные компоненты:

$\displaystyle h=h^\tau_T u^\star+h^\tau_X s^\star;\quad
\omega=\omega^\tau_T\tau+\omega^\tau_X s,
$

где $ h\in \mathcal{H}_2,$ $ \omega\in\mathcal{H}_2^\ast$ и

$\displaystyle h^\tau_T\equiv \tau(h);\quad h_X^\tau\equiv s(h);\quad \omega_T^\tau\equiv
\omega(\tau^\star);\quad \omega^\tau_X\equiv\omega(s^\star).
$

Аналогично, вводя разложение единичного оператора в тензорном расслоении $ T^{(r,s)}\mathcal{H}_2$ :

$\displaystyle \hat I^{\otimes (r+s)}=(\tau^\star\otimes \tau-s^\star\otimes
s)^{\otimes(r+s)}
$

можно всякий тензор на $ \mathcal{H}_2$ разложить на пространственно-временные компоненты. Например, метрические тензоры $ g^\star$ и $ g^\times,$ ассоциированные с симметричным и косым произведениями соответственно имеют следующие представления:

$\displaystyle g^\star=\tau\otimes\tau-s\otimes s;\quad g^\times= \tau\wedge
s,
$

которые по существу имеют смысл 2-мерного (диадного) аналога тетрадного описания величин в СТО и ОТО. Отметим, что специфика 2-мерия заключается в наличии взаимно-однозначного пространственных и временных элементов диады $ \{u,s\}.$ Рассмотрим пару элементов $ \tau_1$ и $ \tau_2$ из $ \mathcal{H}_2^\ast,$ которые параметризуются скоростями $ v_1$ и $ v_2$ по формуле (151). Легко убедиться, что их произведение в двойной алгебре $ \mathcal {H}_2^\ast $ определяет элемент

$\displaystyle \tau=\tau_1\cdot\tau_2=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}1_\ast-\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}j_\ast,
$

где

$\displaystyle v=\frac{v_1+v_2}{1-v_1v_2}.$ (156)
Другими словами, последовательная смена систем отсчета описывается умножением в алгебре двойных чисел соответствующих элементов из $ \mathcal{H}_2^\ast.$ Это умножение автоматически индуцирует релятивистский закон сложения скоростей. Интересное следствие этого факта связано с алгебраической интерпретацией активных и пассивных преобразований: умножения нормированных на единицу элементов в коалгебре $ \mathcal {H}_2^\ast $ описывают пассивные преобразования Лоренца (смену точки зрения на одни и те же события), в то время как умножения нормированных на единицу элементов в алгебре $ \mathcal{H}_2$ описывают активные преобразования Лоренца (переход к другим событиям, на которые мы смотрим с той же точки зрения). Отсюда, в частности, следуют тождества:

$\displaystyle \tau_v(\alpha_v\cdot h)=t;\quad s_v(\alpha_v\cdot h)=x
$

для всякого элемента $ h=t+jx$ и элементов $ \alpha_v\in P\mathcal{H}_2,$ $ \tau_v,s_v\in P\mathcal{H}_2^\ast,$ параметризуемых одним и тем же параметром $ v.$ Эти тождества являются математическим выражением следующего утверждения: событие, переведенное активным бустом в новое событие, не изменяет своих пространственно-временных проекций в системе отсчета, соответствующей этому бусту. Все приведенные выше построения допускают локализацию т. е. переход к дифференциально-геометрическим объектам (касательным векторам и дифференциальным 1-формам). Для этого достаточно допустить зависимость параметра $ v$ от $ t$ и $ x,$ а все конструкции рассматривать в касательных и кокасательных пространствах $ T_{(t,x)}\mathcal{H}_2$ и $ T_{(t,x)}^\ast\mathcal{H}_2=T_{(t,x)}\mathcal{H}_2^\ast.$ Такой переход позволяет рассматривать протяженные деформирующиеся системы отсчета и даже включать гравитацию.

4.5.  Динамика СТО в представлении двойных чисел

Гладкую кривую $ \Gamma$ на $ \mathcal{H}_2$ можно описывать с помощью параметрической зависимости $ h(w)=t(w)+jx(w)$ где $ w$ -- вещественный параметр, а $ t(w),x(w)$ -- гладкие функции от него. Вектор (координатной) скорости на этой кривой имеет вид:

$\displaystyle \dot h=\frac{dh}{dw}=\dot t+j\dot x,
\vrule depth15pt width0pt
$

при этом физическая скорость $ v$ определяется отношением:

$\displaystyle v=\frac{\text{Im}\dot h}{\text{Re}\dot h}=\frac{\dot x}{\dot t}$ (157)
и не зависит от параметризации. Назовем кривую причинной и ориентированной в будущее, если для всякой системы отсчета $ \tau\in \mathcal{IR}_+^\uparrow$ $ \tau(\dot
h)>0$ для всех $ w.$ Всякая такая кривая допускает натуральную параметризацию

$\displaystyle s=\int\limits_{w_0}^w\sqrt{\dot h\star \dot h}  dw=\int\limits_{t_0}^t\sqrt{1-v^2}  dt$ (158)
в которой $ \dot h\star \dot h=1.$ Вектор $ \dot h$ в натуральной параметризации назовем 2-скоростью $ V$ на кривой $ \Gamma.$ Как это нетрудно получить из соотношений (157) и (158) он имеет представление:

$\displaystyle V\equiv \frac{dh}{ds}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2(s)}}+j\frac{v(s)}{\sqrt{1-v^2(s)}}.$ (159)
Причинные и ориентированные кривые можно интерпретировать как мировые линии массивных точечных частиц, помещенных в 2-мерное пространство время. Для каждой такой частицы можно определить 2-импульс:

$\displaystyle P\equiv mV=\frac{m}{\sqrt{1-v^2(s)}}+j\frac{mv(s)}{\sqrt{1-v^2(s)}},
$

где $ m$ -- масса покоя частицы, которая определяет значение инварианта

$\displaystyle P\star P=P\cdot\bar P=m^2.$ (160)
Определим 2-силу $ F_0$ в системе отсчета, сопутствующей частице как элемент $ \mathcal{H}_2$ вида:

$\displaystyle F_0=jf,$ (161)
где $ f$ -- 1-мерный скаляр силы, измеряемый динамометром в сопутстсвующей системе. Вектор 2-скорости $ V_0$ в этой системе имеет вид: $ V_0=1$ и, очевидно, что

$\displaystyle F_0\star V_0=0.$ (162)
В лабораторной системе отсчета 2-скорость описывается элементом $ V,$ который связан с $ V_0$ активным бустом $ \alpha_{v}$ : $ \alpha_{v}\cdot V_0=V.$ Таким же соотношением связаны элементы $ F$ и $ F_0$ : $ \alpha_{v}\cdot F_0=F,$ откуда средствами алгебры $ \mathcal{H}_2$ получаем:

$\displaystyle F=\alpha_{v}\cdot F_0=\frac{vf}{\sqrt{1-v^2}}+j\frac{f}{\sqrt{1-v^2}}. \vrule depth15pt width0pt$ (163)
Ввиду лоренц-инвариантности операции $ \star$ и соотношения (162), имеем общее соотношение ортогональности:

$\displaystyle F\star V=0,$ (164)
выражающее принятый в СТО факт локальной пространственноподобности действующих на точку сил. Этот факт, на самом деле, заложен в структуру релятивистских уравнений динамики:

$\displaystyle \dot P=F$ (165)
ввиду соотношения $ \dot P\star P=0,$ вытекающего из (160). В компонентах уравнения (165) принимают вид

$\displaystyle \frac{d}{ds}m(1-v^2)^{-1/2}+j\frac{d}{ds}mv(1-v^2)^{-1/2}=vf+jf. \vrule depth15pt width0pt$ (166)
Вещественная часть этого равенства описывает закон сохранения релятивистской энергии $ E=$Re$ P=m(1-v^2)^{-1/2}$ с учетом мощности $ vf$ действующей силы, который является следствием мнимой части (166), выражающей релятивистский второй закон Ньютона.

4.6.  Частицы в "электромагнитном поле" на двойной плоскости

2-мерным аналогом потенциала "электромагнитного поля" в двумерном пространстве-времени СТО является 1-форма вида $ \mathcal{A}=A_01_\ast+A_1j_\ast.$ Ее ротор принимает вид:

   rot$\displaystyle  \mathcal{A}\equiv\nabla\times\mathcal{A}=\frac{\partial A_1}{\p...
...
t}-\frac{\partial A_0}{\partial x}\equiv\mathcal{E}
\vrule depth15pt width0pt
$

и является единственным (псевдо)скаляром, описывающим напряженность электромагнитного поля на двойной плоскости. Здесь введен комплексный оператор $ \nabla\equiv\partial_t+j\partial_x.$ Псевдоевклидов квадрат тензора $ F=\mathcal{E} 1_\ast\wedge j_\ast$ определяет первый (и в данном случае единственный) инвариант:

$\displaystyle I=F_{ik}F^{ik}=-2F_{01}^2=-2\mathcal{E}^2,
$

знак которого отрицателен. Это означает, что в двумерном пространстве-времени электромагнитное поле существует лишь в своей "электрической ипостаси". Движение распределенных зарядов на $ \mathcal{H}_2$ описывается 2-вектором плотности тока

$\displaystyle J=\rho_0V=\rho+j\rho v,$ (167)
где $ \rho_0$ -- плотность заряда в системе его покоя, $ \rho=\rho_0/\sqrt{1-v^2}\vrule depth15pt width0pt$ -- плотность заряда в лабораторной системе, $ V$ -- поле 2-скорости заряда, $ v$ -- поле физической скорости заряда. Действие для системы "заряды + электрическое поле" принимает вид:

$\displaystyle S=-\sum\limits_k m_k\int\sqrt{dh_k\star dh_k}-\sum\limits_k q_k\mathcal{A}^\star\star dh_k +\frac{j}{8\pi}\int \mathcal{E}^2  dh\wedge d\bar h.$ (168)
Варьирование действия (168) по координатам частиц приводит к уравнениям движения частиц во внешнем поле:

$\displaystyle \dot V=j\frac{q}{m}\mathcal{E}\cdot V$   или$\displaystyle \quad \frac{dE}{dt}+j\frac{t}{dt}\frac{mv}{\sqrt{1-v^2}}=q\mathcal{E}v+jq\mathcal{E}, \vrule depth15pt width0pt$ (169)
которое в качестве мнимой компоненты содержит уравнение движения заряженной частицы под действие чисто элеткрической силы Лоренца. Варьирование же действия (168) по компонентам потенциала $ \mathcal{A}$ приводит к уравнениям Максвелла вида:

$\displaystyle \bar\nabla \mathcal{E}=-2\pi j J$   или$\displaystyle \quad \frac{\partial\mathcal{E}}{\partial t}-j\frac{\partial \mathcal{E}}{\partial x}=-2\pi\rho(v+j). \vrule depth15pt width0pt$ (170)
Мнимая часть этих уравнений соответствует 1-мерной версии теоремы Гаусса, а вещественная -- закону "полного тока", который просто выражает факт равенства нулю полного тока. Применяя к обеим частям первого уравнения (170) операцию $ \bar\nabla\times,$ получаем в силу тождества $ \bar\nabla\times\bar\nabla=0$ закон сохранения электрического заряда:

$\displaystyle \bar\nabla\times jJ=0$   или$\displaystyle \quad \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial \rho v}{\partial x}=0. \vrule depth15pt width0pt$ (171)

Далее: Bibliography Вверх: Лекции по финслеровой геометрии Previous: 3.  Элементы теории функций